Элементы теории функции комплексного переменного

§1. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции

Говорят, что на множестве D точек плоскости задана функция , если каждой точке поставлено в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений комплексного переменного .

Например, – однозначная функция, – многозначная функция.

Мы будем рассматривать только такие функции, для которых множества D и G являются областями, причем D называется областью определения, а G – областью значений функции .

Определение. Функция называется однолистной в области , если любым различным значениям , взятым из области , соответствуют различные значения функции: .

Задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций действительных переменных , :

, (1)

где , .

Это позволяет свести изучение функции комплексного переменного к изучению двух функций действительных переменных.

Пример 1. Выделим действительную и мнимую части функции . Так как , имеем

.

Отсюда

, .●

Геометрически заданную на D однозначную функцию можно рассматривать как отображение точек области D плоскости (z) в некоторую область G плоскости (w). В этом отображении и проявляются свойства функции .

Точки z, линии , области называют прообразами точек , линий и областей соответственно, а w, , называют образами при отображении .

Если кривая задана параметрическими уравнениями или , , то можно получить параметрические уравнения , представив действительную и мнимую части как функции параметра t:

.

Если в плоскости z кривая задана неявным уравнением , то для нахождения уравнения ее образа в плоскости w при отображении, осуществляемом функцией , достаточно исключить x и y из уравнений

Определение. Комплексное число называется пределом функции при , если для любого найдется такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . В этом случае пишут .

Существование , где , равносильно существованию и , причем .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и ее окрестности и , где – конечное комплексное число.

Функция, непрерывная в каждой точке области D, называется непрерывной в этой области.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части были непрерывными функциями в точке .

Понятия предела и непрерывности функции комплексного переменного вводятся аналогично, как это делается для функции действительного переменного. Свойства пределов и непрерывных функции действительного переменного остаются в силе для функций комплексного переменного.

§3. Основные элементарные функции комплексного переменного

1. Дробно-рациональная функция

, . (1)

2. Показательная функция

, (2)

которая является периодической функцией с периодом , т.е. .

3. Тригонометрические функции

, , , (3)

Для тригонометрических функций остаются в силе все формулы тригонометрии. В отличие от тригонометрических функций действительного аргумента модули функции и могут быть больше 1.

4. Гиперболические функции

, , , . (4)

Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следующими соотношениями:

. (5)

5. Логарифмическая функция

Функция, обратная функции в области ее однозначности, называют главной ветвью натурального логарифма:

(6)

Обратное отображение показательной функции во всей комплексной плоскости:

(7)

Из (9) видно, что логарифмическая функция – функция многозначная, ее значения для данного значения z отличаются друг от друга на число .

Логарифмическая функция комплексного переменного обладает известными свойствами логарифма действительного переменного.