Основные свойства средней арифметической
Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной.
Если каждую варианту
увеличить или уменьшить на одно и то
же постоянное число, то новая средняя
увеличится или уменьшится на это же
число.Если каждую варианту умножить или разделить на одно и то же постоянное число, то новая средняя увеличится или уменьшится во столько же раз.
Сумма всех отклонений вариантов от средней (как простой, так и взвешенной) всегда равна нулю:
и
,
(6.5)
Сумма всех квадратов отклонений вариантов от средней (как простой так и взвешенной) всегда меньше суммы квадратов отклонений от любой другой произвольной величины:
,
(6.6)
Если все частоты разделить (умножить) на одно и то же постоянное число, средняя от этого не изменится.
Средняя многочлена равна многочлену средних:
.
(6.7)
Средняя
гармоническая
применяется при обобщении обратных
значениях изучаемого явления.
Прямые значения
признака
такие значения, которые увеличиваются
при увеличении определяющего показателя
и характеризуемых ими явлений и
уменьшаются при уменьшении.
Обратные
значения признака
такие значения, которые увеличиваются
при уменьшении определяющего показателя
и характеризуемых ими явлений и
уменьшаются при увеличении.
Средняя гармоническая простая:
,
(6.8)
Средняя гармоническая взвешенная:
,
(6.9)
Средняя квадратическая простая:
,
(6.10)
Средняя квадратическая взвешенная:
,
(6.11)
Средняя кубическая простая:
,
(6.12)
Средняя квадратическая взвешенная:
.
(6.13)
Средняя геометрическая:
,
,
(6.14)
где – число значений признака;
– знак перемножения;
– варианта признака.
Мода – наиболее часто встречающееся значение признака в исследуемой совокупности.
Медианой называется такое значение признака, которое стоит в середине ряда вариант расположенных по порядку возрастания или убывания (ранжированный ряд). Медиана делит ранжированный ряд пополам, в результате чего у половины единиц совокупности значение признака меньше медианы, а у половины больше медианы.
Мода в дискретном вариационном ряду определяется частотой появления той или иной величины варианты, варианта с наибольшей частотой – мода.
Мода в вариационном интервальном ряду рассчитывается по формуле:
,
(6.15)
где
минимальная граница модального интервала;
величина
модального интервала;
частота интервала
предшествующая модальному интервалу;
частота следующего
за модальным интервалом;
частота модального
интервала.
Модальный интервал это интервал, содержащий моду (имеющий наибольшую частоту).
Медиана в дискретном вариационном ряду рассчитывается в зависимости от того, четное или нечетное количество элементов содержит ряд.
При нечетном
количестве единиц
определяется
номер варианты
,
которому соответствует медиана:
,
(6.16)
При четном количестве единиц:
,
(6.17)
Медиана в интервальном вариационном ряду рассчитывается по формуле:
,
(6.18)
где
начальное значение медианного интервала;
величина
медианного интервала;
сумма частот ряда;
сумма накопленных
частот, всех интервалов, предшествующих
медианному;
– частота медианного
интервала.
Медианный интервал это интервал, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает половину суммы частот.
Квартиль
делит ряд
на четыре одинаковые части. Второй
квартиль равен медиане. Расчет первого
и третьего
осуществляется по формулам:
,
(6.19)
Вместо медианного интервала при расчете берется интервал, в котором находится варианта, отсекающая ¼ численности частот:
,
(6.20)
Вместо медианного
интервала при расчете
берется интервал, в котором находится
варианта, отсекающая ¾ численности
частот.
Дециль делит ранжированный ряд на 10 равных частей.