Глава 12 . Элементы высшей математики. Математическое описание медико-биологических процессов и обработка медицинских данных
Сегодняшний уровень развития медицинской и биологической физики, таких специальных дисциплин как ортопедическая стоматология и ортодонтия требует получения определенных математических знаний, имеющих, в первую очередь, прикладное значение. В данной теме излагается необходимый теоретический материал из разделов высшей математики, который сопровождается большим числом рассмотренных примеров и задач. По существу, каждый пример – это «математическая модель» изучаемого процесса или объекта.
Математическая модель, основанная на некотором упрощении, идеализации, никогда не бывает тождественна рассматриваемым процессам или объектам, не передает всех их свойств и особенностей, а является их приближенным отражением. Однако, благодаря замене, например, реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, то есть прогнозировать результаты будущих наблюдений.
Простые примеры таких моделей, рассмотренные в нижеследующих семинарах, будут продолжены более сложными при изложении основного курса.
Не вызывает также сомнения, что современный врач должен понимать методы обработки медико-биологических данных и владеть ими. Начальные знания здесь могут быть получены при знакомстве с теорией ошибок (погрешностей) измерений.
12.1. Введение в дифференциальное исчисление
12.1.1. Постоянные и переменные величины. Функциональная зависимость между переменными
В различных областях науки, техники, медицины имеют дело с постоянными и переменными величинами.
Величины, которые всегда сохраняют свое значение постоянным, называются фундаментальными постоянными. Например, отношение длины окружности 2πR к длине диаметра 2R – число π = 3,14…, гравитационная постоянная G = 6,67 · 10-11 Н · м2/ кг2 и др.
Величины, изменяющие свои значения в процессе, который они описывают, называются переменными.
Рассмотрим второй закон Ньютона:
(12.1)
Здесь
–
сила,
- ускорение, которое приобретает тело
массой m
при действии на него силы F;
F
и
а
– величины переменные, m
в данной формуле обычно величина
постоянная.
Переменные величины часто в большей или меньшей степени связаны друг с другом. Например, в уравнении (12.1) данному значению силы F соответствует определенное, причем единственное значение ускорения а.
Возьмем другой пример: размер популяции бактерий n в каждый данный момент времени t задается формулой:
n(t) = 106 + 104t – 103t2 (12.2)
Каждому значению t здесь соответствует единственное значение n.
Введем понятие функциональной зависимости между переменными величинами. Некоторая переменная величина у* связана с переменной х функциональной зависимостью, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
Одну из переменных, обычно х, значения которой удобно задавать (F, t в формулах (12.1) и (12.2) называют независимой переменной или аргументом, переменную y (в формулах (12.1), (12.2) – a и n), изменяющуюся в зависимости от изменения аргумента, называют зависимой переменной или функцией данного аргумента.
Условились для краткости записи часть уравнения, задающего функцию, обозначать символами f(x), φ(x) ... и писать:
y = f(x), y = φ(x) (φ – греческая буква «фи»).
В наших примерах a = f(F), n = f(t).
Процессы в живом организме во многих практически значимых случаях описываются переменными величинами, связанными между собой функциональной зависимостью. Рассмотрим два примера.
Задача 1: установлено, что реакция организма r на введенное лекарство в определенной дозе x может описываться следующей функцией:
r = f(x) = x2 (a – x), (12.3)
где а – некоторая положительная постоянная.
В зависимости от ситуации r – это температура, частота дыхания, частота пульса, кровяное давление или какой-то другой физиологический показатель.
Приведенная формула (12.3) и представляет собой простейшую математическую модель указанного выше процесса. Сразу встает вопрос: при каком значении x реакция максимальна?
Задача 2: реакция организма r на два лекарства как функция времени t определяется следующими выражениями:
r1(t) = te-t , r2(t) = t2 e-t (12.4)
В данном случае, естественно, встают вопросы: при действии какого из лекарств выше максимальная реакция, какое из лекарств оказывает более быстрое или медленное воздействие?
На поставленные вопросы можно ответить после приобретения необходимых знаний по высшей математике.