Приложение а

Построение линий, заданных параметрическими уравнениями

Уравнения выражающие координаты точки линии в виде функций от некоторого параметра задают параметрические уравнения линии и записываются:

или (*)

Возможна запись:

Для построения линии, заданной уравнением (*),необходимо:

1 Найти точки пересечения линии с осями координат

2 Задать таблицу значений параметра и найти соответствующие значения х и у по форме

					и т.д.
х					и т.д.
у					и т.д.

3 В ДСК построить точки: , , , и т.д.

4 Полученные точки соединяются плавной кривой

Построить линию, заданную параметрическими уравнениями

1 Найдем точки пересечения с осями координат

С осью ОХ:

Найдем значения :

С осью ОY:

Найдем значения

2 Зададим таблицу значений параметра и найдем соответствующие значения х и у

Приложение а (продолжение)

	5,1	4,2	3	- 3	- 4,2	- 5,1	- 5,1	- 4,2	- 3	3	4,2	5,1
	2	2,8	3,4	3,4	2,8	2	- 2	- 2,8	- 3,4	- 3,4	- 2,8	-2

При вычислении значений , для следует использовать формулы приведения

Например:

4

-6 6

-4

Приложение б

Построений линий в полярной системе координат

Полярная система координат (ПСК) определяется заданием некоторой точки О на плоскости, называемой «полюсом»и исходящим из полюса лучом , называемым «полярной осью», а также масштаба для измерения длин. Положение любой точки на плоскости в полярной системе координат задается двумя числами ρ и φ, т.е. Μ(ρ; φ), где ρ – полярный радиус (расстояние от полюса до данной точки, и, как всякое расстояние

ρ > 0), φ – полярный угол, который отсчитывается от полярной оси в градусах или радианах ( ) Положительным направлением отсчета полярного угла считается отсчёт против часовой стрелки.

У равнение линии в полярной системе координат записывается в виде уравнения, связывающего значения полярного угла с величиной полярного радиуса.

Линии, заданные в ПСК строятся следующим образом:

1 Задаются через определенный шаг значения угла φ и на плоскости строятся лучи под выбранными углами, отсчитываемыми в положительном направлении от полярной оси (против часовой стрелки), т.е. строится полярная сетка координат

2 По данной зависимости вычисляются соответствующие значения радиуса

3 Полученные значения откладываются в выбранном масштабе по соответствую-щему лучу, начиная от полюса. Если значения получаются отрицательные, то знак «-» указывает на противоположное направление

4 Полученные точки соединяются плавной кривой

При построении кривой в полярных координатах следует учитывать такие свойства кривой, как четность, нечетность, периодичность и область определения функции , что в значительной мере ускоряет процесс построения кривой, снижает объем вычислительной работы

Рассмотрите пример

• Построить кривую ρ = α(1 – cosφ), α > 0 .

Алгоритм построения

1 Стоим полярную сетку для значений φ с шагом π/6.(Обратите внимание чем меньше шаг, тем точнее построение)

2 Задаем таблицу значений φ и находим соответствующие значения ρ

Используя четность и периодичность (T=2π) функции cosφ, задаем значения угла в интервале [0;π],

φ	0	π/6	π/3	π/2	2π/3	5π/6	π
ρ	0	1,13α	0,5α	α	1,5α	1,87α	2α

3 Строим точки (0,0), (1,13α, π/6), (0,5α ,π/3) и т.д. в ПСК (см. п.3)

4 Полученные точки соединяются плавной кривой, а затем достраиваем ее симметрично полученной для остальных значений угла в интервале [π;2π].

Заметим, что данная кривая определена для любых значений φ, так как выражение (1 – cosφ) всегда положительно

Рис.1

Полученная кривая (рис.1) называется кардиоидой

5