Приложение а

Решение системы линейных алгебраический уравнений (СЛАУ) методом Гаусса

Наиболее распространенным методом решения СЛАУ является метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

Рассмотрим этот метод на примере системы четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Решение

Составим расширенную матрицу системы и выполним прямой ход Гаусса путем сведения матрицы системы к треугольной матрице, с помощью элементарных преобразований матрицы.

		(1) ~		(2) ~
(2) ~		(3)-(5) ~		(6) ~
(6) ~		(7) ~		(8) ~
(8) ~

Цифрами (1) – (8) указан порядок преобразования матрицы в эквивалентную.

Приложение а

(продолжение)

1 Поменяем первую и четвертую строки расширенной матрицы системы местами.

2 Элементы четвертой строки умножим на (-1) и сложим с соответствующими элементами первой строки.

3 Элементы первой строки умножим на (-4 ) и сложим с соответствующими элементами второй строки.

4 Элементы первой строки умножим на (-8) и сложим с соответствующими элементами третьей строки.

5 Элементы первой строки умножим на (-2) и сложим с соответствующими элементами четвертой строки.

6 Элементы второй строки умножим на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьей строки.

7 Поменяем третью и четвертую строки, поделив элементы третьей строки на 2.

8 Элементы третьей строки умножим на (-2) и сложим с соответствующими элементами четвертой строки.

Получили эквивалентную матрицу. Используя строки полученной матрицы перейдем к системе

Выполним обратный ход Гаусса:

Ответ: (1; 1; -1; -1).

Замечание. Подставляя найденные в каждое из уравнений данной системы можете выполнить проверку.

Приложение б

Найдите общее решение СЛАУ

Составим расширенную матрицу системы. Определим ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы, применяя элементарные преобразования матрицы.

(1,2)~ (3)~

(3)~

ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ

1 Элементы первой строки умножим на (-2) и сложим с соответствующими элементами второй строки.

2 Элементы первой строки умножим на (-1) и сложим с соответствующими элементами четвертой строки.

3 Т.к.элементы третий строки пропорциональные соответствующим элементам четвертой строки, то четвертую строку вычеркнем.

4 Т.к.элементы второй строки пропорциональные соответствующим элементам третий строки, то третью строку вычеркнем.

Вывод. Матрица системы и расширенная матрица системы имеют две линейно независимых строки, тогда значит система совместная. Т.к. ранг меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.