3.2.2Решение задач с неоднородным краевым условием
Перейдем к рассмотрению задачи для уравнения (3.1) с неоднородными краевыми условиями
Эта задача в силу ее линейности может быть разбита на две
и
При этом
.
Первая задача решается приведенным
выше способом, решение второй задачи
ищется в виде прямой волны
,
так как краевой режим является
единственной причиной возбуждения
колебаний в струне. Тогда из начальных
условий
.
Из краевого условия
.
Таким образом
т.е.
(3.10)
Пример 6. Решить смешанную задачу
Решение. Разобьем исходную задачу на две
и
при этом
.
Решение первой задачи, пользуясь
формулой (3.8), можно записать
или
Решение второй задачи в
соответствии с формулой (3.10)
.
Тогда
.
Пример 7. Решить смешанную задачу
Решение.
При помощи замены переменных
приводим уравнение к каноническому
виду (см. раздел 2.2)
,
из которого находим
.
Здесь
и
произвольные дважды непрерывно
дифференцируемые функции. Выполнив
обратную замену переменных,
получим общее решение исходного
уравнения
.
Неизвестные функции найдем из начальных
и краевого условий:
Из первых двух уравнений
системы находим
,
при
.
Подставляя найденную функцию
в третье уравнение системы, получим
.
Следовательно, решением задачи является
функция
или
3.2.3Задачи
Решить смешанные задачи:
.
,
.
,
,
,
,
.
,
,
,
,
3.3Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности
3.3.1Формула Пуассона
Классической
задачей Коши для уравнения теплопроводности
называется задача о нахождении функции
,
характеризующей температуру в точке
пространства
в момент времени
.
Функция
удовлетворяет уравнению
, (3.11)
описывающему процесс распространения тепла в однородном изотропном пространстве, и начальному условию
, (3.12)
задающему начальное распределение температур. Функция f характеризует интенсивность внутренних источников тепла.
Если функция
,
а функция
и ограничена, то решение задачи Коши
(3.11), (3.12) существует, единственно и
выражается формулой Пуассона
(3.13)
Очевидно, для случая одной пространственной переменной задача Коши запишется
, (3.11’)
. (3.12’)
И формула Пуассона соответственно примет вид:
(3.13’)
При решении
задач для уравнения теплопроводности
(3.11) на полупрямой применяются те же
подходы, что и при решении задач для
волнового уравнения на полупрямой (см.
п. 3.2). Положим в уравнении (3.11’)
.
При этом выбор характера продолжения
заданных условий на всю ось определяется
следующими леммами.
Лемма 3.
Пусть в задаче (3.11’), (3.12’) функция
нечетная относительно x=0, т.е.
,
тогда
.
Лемма 4.
Пусть в задаче (3.11’), (3.12’) функция
четная относительно x=0, т.е.
,
тогда
.
Пример 8. Решить задачу:
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой Пуассона (3.13’). При этом получим
Посчитаем
первый интеграл, для этого введем новую
переменную
и воспользуемся табличным значением
интеграла
Тогда решение можно переписать следующим образом:
