3. Определим прогиб балки в ее центре для всех трех подобранных в п.2 сечений.
Для этого в заданной точке приложим единичную силу, найдем реакции опор от этой силы и построим эпюру изгибающих моментов (рис. 6, 7).
Выполним расчеты для схемы рис. 6 по уравнениям (1), (2), (3).
ΣmomA(Fi) = 0; -1·l/2+R'B(l-c)=0,
R
'B
= l/2(l-c)
= 0,667;
ΣmomВ(Fi) = 0; 1· (l/2 –c) + R'A(l-c) = 0;
R'A = (l/2-c)/(l-c) = 0,333.
ΣFiY = 0; -1 + R'A + R'B = 0,
-1+0,667+0,333 = 0.
Эпюра изгибающих мо-ментов строится раздельно по участкам I и II. Для участка I, следуя методу сечений, записываем:
МизгI = R'A·х1, 0<x1<l/2;
Мизг(D) = 0,333·6 = 2м.
Для участка II, получаем:
МизгII = R'B·х2, 0<x2<(l/2-c); Мизг(D) = 0,667·3 = 2м.
Совпадение результатов этих расчетов подтверждает их правильность. Эпюра изгибающих моментов от единичной силе построена напосредственно на рис. 6.
Д
ля
вычисления прогиба в заданной точке N
воспользуемся методом Верещагина. Эпюру
изги-бающих моментов от действующей
нагрузки для удобства вычисления
площадей фигур разобьём на 8 участков,
как показано на рис. 7. Отметим сразу,
что площадь 8 участка будет умножаться
на нулевую ординату на рис. 6, поэтому
эту площадь можно не вычислять. Длины
остальных участков в метрах указаны
на рис. 7. Длины участков 1, 2, 4 берутся непосредственно с рис. 1, длина участка 7 вычисляется по уравнению (8):
МизгIII = -M+RB·х7 – q·x27/2 = 0; -8+87·х7 – 25·x27/2 = 0; х7 = 0,093м.
Длина участков 3, 5 вычисляется, согласно рис. 3, 4: х3, 5 = 4 - 3,48 = 0,52м. Длина участка 6 определяется по рис. 3, 7: х6 = 3,48 – х7 = 3,387м.
В связи с малостью участков 3 и 7 для упрощения расчетов не будем учитывать их вклад в общую сумму. Тогда в соответствии с правилом Верещагина:
δN = [ω1·y1+ ω2·y2+ ω4·y4+ ω5·y5+ ω6·y6]/EI, (11)
г
де
ωi
– площадь соответствующего участка на
эпюре рис. 7, yi
– ордината на эпюре рис. 6 над центром
тяжести участка на рис. 7, Е – модульупругости
материала балки, I
– момент инерции сечения балки.
Для прямоугольных (4, 5) и треугольных (1, 2) участков эпюр формулы для вычисления площадей и положения их центров тяжести очевидны, а для участков, ограниченных параболой (здесь это участок 6) следует обратиться к соответствующим справочникам, из которых можно получить формулы для двух возможных конфигураций участков с параболами. Эти формулы для простоты даются ниже на рис. 8.
Для подстановки в формулу (11) в соответствии с рис. 6, 7 имеем:
ω1 = ½·2,5·107,5 = 134,4кНм2; y1 = R'A·⅔·2,5 = 0,33·⅔·2,5 = 0,555м; ω1·y1 = 74,66кНм3;
ω2 = ½·2,5·(140-107,5) = 40,62кНм2; y2 = R'A·(2,5+⅔·2,5) = 1,39м; ω2·y2 = 56,41кНм3;
ω4 = 2,5·107,5 = 268,8кНм2; y4 = R'A·(2,5+½·2,5) = 1,25м; ω4·y4 = 336кНм3;
ω5 = 0,52·140 = 72,8кНм2; y5 = R'A·(5+½·0,52) = 1,753м; ω5·y5 = 127,62кНм3.
Центр тяжести 6 участка лежит справа от середины балки т. N, поэтому в соответствии с рис. 6, 7 и 8 имеем:
ω6 = ⅔·3,387·143,4 = 323,8кНм2; y6 = R'В·(0,093+⅝·3,387) = 0,67·2,21= 1,481м; ω6·y6 = 479,4кНм3.
Таким образом, формула (11) дает:
δN = [74,66+ 56,41+ 336+ 127,62+ 479,4] ·103/(2·1011·I) = 519,6·10-8/I.
Для прямоугольного сечения балки выше было определено Iпр = 0,976·10-4м4, тогда прогиб такой балки в ее центре составит
δNпр = 519,6·10-8/0,976·10-4 = 532,4·10-4 м = 53мм.
Для балки круглого сечения Iкр = 0,955·10-4м4, поэтому
δNкр = 519,6·10-8/0,955·10-4 = 544,1·10-4 м = 54мм.
Для двутавровой балки I = 1,893·10-4м4, т.е.
δNдвт = 519,6·10-8/1,893·10-4 = 274,5·10-4 м = 27мм.
Помимо сравнения жесткостей балок целесообразно сравнить и их веса. Очевидно, соотношения весов равны соотношению площадей поперечных сечений балок, т.е.
Gпр/Gкр/Gдвт = Sпр / Sкр / Sдвт = 0,0242 / 0,0346 / 0,0071 = 3,41 / 4,87 / 1.