3. Для построения эпюры углов закручивания по длине вала воспользуемся формулой закона Гука для деформации кручения

φ_кр = М_крl/GI_p, (3)

где G – модуль упругости на кручение, G = 0,4Е, для стали G = 0,8×10¹¹Па; I_p – полярный момент инерции сечения, для круглого сечения I_p = πd⁴/32.

Поскольку в опоре вала (сечение VII) угол закручивания равен нулю, эпюру углов закручивания по длине необходимо начинать строить именно от этого сечения. Тогда в сечении VI угол поворота сечения в соответствии с (3) будет равен

.

На участке VI-V к этому углу поворота добавится угол

,

таким образом, в сечении V угол поворота будет равен = 1,7º - 1,42 º = 0,28 º.

Далее находим

, = 0,28º + 0,11 º = 0,39 º;

, = 0,39º + 1,78 º = 2,17 º;

, = 2,17º + 2,03 º = 4,20 º;

, = 4,20º + 2,93 º = 7,13 º;

Эпюра углов поворота сечений вала φ(l) показана на рис. 4.

Задача 2-1.

1.Определим опорные реакции балки по схеме рис. 1. Построим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М_изг. Заданные величины: a = 2,5м, b = 4м, c = 3м, l = 12м; M = 8кНм, F = 30кН, q = 25кН/м.

Из схемы закрепления и нагружения балки видно, что балка – статически определима. Для отыскания двух неизвестных сил реакций R_A и R_B воспользуемся двумя уравнениями моментов относительно шарнирнов опор, уравнение проекций сил на вертикальную ось Y используем для проверки правильности решеня.

Σmom_A(F_i) = 0;

- Fa–qb(l-c-b/2)–M+R_B(l-c)=0, (1)

R_B = (Fa + qb(l-c-b/2) + M)/ (l-c);

R_B = (30·2,5+25·4·(12-3-2)+8/9 = 87кН.

Σmom_В(F_i) = 0;

F(l –a) + qb²/2 – M – R_A(l-c) = 0, (2)

R_A = (F(l –a-c)+qb²/2-M)/(l-c);

R_A = (30·(12–2,5-3)+25·4²/2-8/9 = 43кН.

ΣF_iY = 0; -F – qb + R_A + R_B = 0,

-30-25·4+87+43 = 0. (3)

Э пюры изгибающих мо-ментов и перерезывающих сил будем строить раздельно по участкам I…IV, причем для данной схемы очевидно, что М_изгIV = -М = -8кНм = const,Q_IV = 0 = const.

Д ля участка I (рис. 2), следуя методу сечений, записываем:

М_изгI = R_A·х₁, 0<x₁<a; (4)

Q_I = R_A, 0<x₁<a. (5)

Отсюда М_изг(С) = 43·2,5 = 107,5кНм, Q_I = 43кН.

Для участка II:

М_изгII = R_A·(a+х₂) – F·x₂,

0<x₂<l-(a+b+c); (6)

Q_II = R_A - F, 0<x₂<l-(a+b+c). (7)

Из (6), (7) следует:

М_изг(D) = 43·(2,5+2,5) - 30·2,5 = 140кНм, Q_II = 13кН.

Для участка III удобнее вычислять изгибающий момент и перерезывающую силу, отсчитывая текущую координату справа налево:

М_изгIII = -M+R_B·х₃ – q·x²₃/2, 0<x₃<b; (8)

Q_III = -R_B + qx₃, 0<x₃<b. (9)

Отсюда М_изг(D) = -8+87·4 - 25·8 = 140кНм, Q_III = -87+25·4=13кН.

Поскольку на этом участке эпюра Q_III меняет знак, необходимо отыскать координату х₃, при которой Q=0. Из уравнения (9) следует:

x_3э = R_B/ q = 87/25 = 3,48м.

На эпюре изгибающих моментов в этой точке должен быть экстремум. Его значение находится из уравнения (8):

М_{изг э} = -M+R_B·х_3э – q·x²_3э/2 = -8+87·3,48-25·3,48²/2 = 143,4кНм.

Эпюры изгибающих моментов и перерезывающих сил представлены на рис. 3, 4. По ним видно, что выполняются и все остальные соотношения между этими эпюрами (эпюра М_изг строится на сжатом волокне, dQ/dx=q, dM/dx=Q и др.).

Совпадение значений изгибающих моментов и перерезывающих сил в т. D, рассчитанных слева и справа, также служит подтверждением правильности всех проведенных выше расчетов.

2. Принимая [_сж] = [_р] = 160мПа, определим необходимые размеры:

а) прямоугольного сечения при h/b =2;

б) круглого сечения;

в) двутаврового сечения (стального проката).

Для обеспечения прочности балки постоянного по всей длине сечения осевой момент сопротивления сечения должен определяться из соотношения

W ≥ M_{изг max}/ []. (10)

Для рассматриваемой схемы по рис. 3 видим, что M_{изг max}= М_{изг э}= 143,4кНм.

Следовательно,

W ≥ 143,4·10³ / 160·10⁶ ≥ 0,89625·10 ^-3 м³.

Для прямоугольного профиля W_пр = bh²/6, т.е. при заданном соотношении высоты и ширины сечения W_пр = 4b³/6, т.е. ширина сечения 1,104·10^-1м = 110мм. Высота профиля h = 220мм, площадь сечения S_пр = 0,0242м². Для этого профиля подсчитаем осевой момент инерции сечения I_пр = bh³/12 = 0,976·10^-4м⁴.

Для круглого сечения W_кр = πd³/32, откуда 2,090·10^-1м = 210мм. Площадь сечения S_кр = 0,0346м². Осевой момент инерции сечения I_кр = πd⁴/64= 0,955·10^-4м⁴.

Для двутаврового сечения по справочной таблице профилей находим ближайший профиль с W ≥ 0,89625·10 ^-3 м³ (896см³). Выбираем профиль № 40, W=947см³, основные характеристики: h = 400мм, b = 155мм, S = 0,0071м², I = 1,893·10^-4м⁴.

Для выбранного профиля получаем реальное максимальное нормальное напряжение в сечениис максимальным изгибающим моментом

_max = M/W = 143,4·10³/947·10^-6 = 151мПа.

Эпюра нормальных напряжений по сечению (при схематическом изображении профия двутавра) представлена на рис. 5.