3. Указания к выполнению и пример расчетов

3.1

На л.1 (рис. 2) представлена схема механизма, для которой будут выполнены расчеты, представляющие собой полный объем задания на курсовой проект. Геометрические и массовые данные к схеме приведены ниже.

ОА = r = 150 мм

АВ = l = 120 мм

ВЕ = 50 мм

ВС = R = 170 мм

ОС = d = 55 мм

Массы звеньев: m₁ = 1,5 кг, m₂ = 1,7 кг, m₃ = 1,7 кг.

Коэффициент трения скольжения в кинематических парах f = 0,1, диаметры шипов вращательных пар d_ш = 20мм.

Угловая скорость ведущего звена механизма ОА ₁ = 15 рад/с = const.

Для полного кинематического и силового анализа задано положение механизма 10, для анализа методом построения диаграмм угловых скоростей и ускорений задано звено 2. Требуется также построить траекторию т. Е.

3.2

Структурный анализ механизма показывает:

• число звеньев механизма (включая неподвижное основание) n = 4;

• число кинематических пар p = 4.

Таким образом, формула подсчета числа степеней свободы механизма дает:

W = 3(n – 1) - 2p = 1, (3.2.1)

т.е. для определения движения механизма достаточно задать движение одного ведущего звена.

3.3

Для построения плана положений механизма ведущему звену ОА задается 12 положений, равномерно распределенных во всем диапазоне углов его перемещения (поворота), т.е. через 30 градусов. Положения второго и третьего звеньев определятся заданными геометрическими параметрами механизма (рис.1, л.1). На плане положений изображаются также траектории точек В и Е.

Для построения диаграммы углов поворота звена 2 снимем с плана положений углы ₂ поворота этого звена. Наиболее удобно для анализа скоростей и ускорений измерять эти углы относительно какого-то фиксированного направления (например, горизонтали или вертикали). Но для пояснения более общего случая проведем замеры углов ₂, относительно звена 1. Результаты замеров представлены в таблице на л. 1.

Выберем масштаб углов поворота _ = 2,5/мм = 0,04364¹/мм. Масштаб по оси абсцисс (оси времени) определится следующим образом. Выберем для изображения 12 положений механизма по времени отрезок оси абсцисс длиной 120мм. Тогда, исходя из заданной величины угловой скорости вращения ведущего звена ₁ = 15с^-1, получим:

время полного оборота Т = 2/₁ = 0,419с

масштаб по времени _t = 0,419/120 = 0,00348с/мм

Поместив в указанных масштабах точки из таблицы на диаграмме перемещений и соединив их плавной кривой, получим график углового перемещения звена 2 (рис. 1, л. 2).

График угловой скорости получим способом графического дифференцирования. Для этого по оси абсцисс влево от начала оси ординат диаграммы угловой скорости отложим произвольный отрезок OL = l (рис. 2, л. 2). Из конца этого отрезка будем проводить линии L1', L2', L3'… параллельные касательным 1, 2, 3… графика ₂(t). Точки пересечения этих линий с осью ординат 1', 2', 3' перенесем на соответствующие вертикальные линии. Соединив полученные при этом точки плавной кривой, получим график угловой скорости (рис. 2, л. 2).

Масштаб этого графика получим по формуле

(3.3.1)

При выбранном значении l = 20мм получаем:

= 2,5/(20*0,00348) = 35,9/с/мм = 0,626¹/с/мм.

Для положения 10 с графика получаем (10) = 9,5мм = 340/с = 5,92¹/с, что хорошо согласуется с получаемой из анализа плана скоростей величиной (см. раздел 3.4)

(10) = ₁ - ₂ (10) = 15-9,06 = 5,94¹/с. *) (3.3.2)

Аналогично по графику (t) получаем график (t) (рис. 3, л. 2). Масштаб угловых ускорений на нем определяется формулой аналогичной (3.3.1):

=35,9/(20*0,00348) = 515/с²/мм = 8,99¹/с²/мм. (3.3.3)

В контрольной точке 10 получаем:

(10) = 5мм = 2575/с² = 44,9¹/с², (3.3.4)

что хорошо согласуется с полученной из анализа плана ускорений в разделе 3.4 величиной ₂(10) = 44,6¹/с² (при ₁ = 0).

Во многих случаях помимо изложенного выше метода определения кинематических параметров механизма может быть выполнен и строгий аналитический расчет этих параметров.

Рассмотрим такой расчет для данного механизма. Необходимые для расчета обозначения введены на рис.2 л.1.

______________________

Если измерять угол ₂ относительно какого-либо постоянного направления, например, горизонтальной оси механизма, вместо формулы (3.3.2) следует пользоваться соотношением

= ₂.

Получим аналитическое выражение для величины угловой скорости и углового ускорения второго звена.

Записав простые геометрические соотношения для схемы на этом рисунке

d+Rcos₃ = rsin₁ + lcos,

Rsin₃ = rcos₁ + lsin (3.3.5)

и исключив в этой системе уравнений угол ₃ , получим соотношение

R² = r²+l²+d²+2rl sin₁ cos+2rl cos₁ sin - 2rd sin_{1 -} 2ld cos, (3.3.6)

Из рис.2 л.1 следует также

β=φ₂ - φ₁ – π/2. (3.3.7)

Дифференцируя (3.3.6), получим равенство

l[rsin₂+dsin] +r[lsin₂ – dcos₁] = 0. (3.3.8)

а дифференцируя (3.3.7), ‑ соотношение

, (3.3.9)

и с учетом (3.3.8) получим окончательное выражение для угловой скорости второго звена

, (3.3.10)

где

, (3.3.11)

. (3.3.12)

Учитывая, что в рассматриваемом случае угловая скорость ведущего звена постоянна ( = 0), из (3.3.10) для углового ускорения второго звена получаем выражение

, (3.3.13)

где, с учетом (3.3.9),

, (3.3.14)

, (3.3.15)

Для положения 10 по формуле (3.3.10) получаем (10) = 5,908 1/с, по формуле (3.3.13) - (10) = 44,81 1/с².

3.4

Построение планов скоростей и ускорений следует начинать с группы звеньев, присоединенной непосредственно к ведущему звену.

Рассмотрим группу II класса первого вида, которая образована двумя звеньями АВ и ВС, входящими в три кинематические пары.

Из заданных условий известны векторы скоростей точек А и С концевых элементов группы, которыми звенья 2 и 3 входят в кинематические пары со звеньями 1 и 0 (где 0 - основание механизма), т.е. скорости V_A и V_С, причем V_С = 0. Определим вектор V_B скорости точки В.

Движение точки В может быть представлено как переносное - поступательное со скоростью точки А (или точки С) и относительное - вращательное (соответственно - вокруг точки А или точки С). Векторные уравнения для скорости V_B точки В согласно этим представлениям принимают вид:

V_B = V_A+ V_BA,

V_B = V_C+V_BC , (3.4.1)

где V_A,V_B, V_C - векторы абсолютных скоростей точек А, В, С, а V_BA и V_BC - векторы скоростей точки В относительно точек А и С.

Из уравнений (3.4.1) получаем:

V_A+V_BA = V_C+V_BC . (3.4.2)

В уравнении (3.4.2) известны по величине и по направлению векторы V_A и V_C (V_C является нулевым вектором, согласно заданным условиям), а векторы V_BA и V_BC известны только по направлению. Вектор V_BA скорости точки В относительно точки А направлен перпендикулярно к линии АВ, а вектор V_BC скорости точки В относительно точки С направлен перпендикулярно к линии СВ.

Таким образом, в уравнении (3.4.2) неизвестны только величины векторов скоростей V_BA и V_BC, которые и определяются построением плана скоростей.

Выбрав масштаб скоростей _v = 0,02м/с мм, из произвольной точки р (полюса плана скоростей, рис.2, л.3) откладываем вектор V_A, перпендикулярный звену ОА и равный по величине

V_A = ОА*₁ = 0,15*15 = 2,25м/с = 112,5мм. *)

Из конца а этого вектора проводим линию по направлению вектора V_BA, а из полюса р, где помещается также и неподвижная точка С, проводим линию по направлению вектора V_BC. Точка пересечения этих линий, являясь геометрическим решением уравнения (3.4.2), определяет положение точки В на плане скоростей – точку b. Длина отрезка аb определяет в выбранном масштабе величину скорости V_BА, отрезка рb – величину абсолютной скорости точки В - V_B и одновременно величину скорости V_BC. Таким образом, получаем:

_____________________________

*)Здесь и далее в миллиметрах указывается размер соответствующего отрезка на чертеже без учета искажений масштабов, вносимых в полиграфическом производстве.

V_BА = 54,4мм = 1,088м/с

V_B = V_BC = 103мм = 2,063м/с

Для определения скорости точки Е, лежащей на оси звена АВ, воспользуемся уравнением:

V_E = V_A+V_EA . (3.4.3)

Согласно уравнению (3.4.3), из точки а плана скоростей проводится направление вектора V_EA относительной скорости точки Е относительно точки А. Так как относительные скорости любых точек, лежащих на линии АВ звена 2, перпендикулярны к АВ, то очевидно, что направление вектора скорости V_EA совпадает с направлением вектора скорости V_ВA, т.е. отрезок плана скоростей ае, определяющий скорость V_EA, совпадает по направлению с отрезком аb.

Величину вектора V_EA найдем следующим образом:

Известно:

|V_ВА| = ₂l_АВ (3.4.4)

|V_EА| = ₂l_АE (3.4.5)

Разделим почленно равенство (3.4.4) на равенство (3.4.5):

(3.4.6)

Из уравнения (3.4.6) видно, что скорости точек В и Е относительно точки А прямо пропорциональны расстояниям этих точек до точки А.

Аналогично, из соотношений подобия, находятся положения точек S₁, S₂ и Sз на плане скоростей.

Окончательно из плана скоростей получаем:

V_E = 108мм = 2,16м/с,

V_S1 = 56,2мм = 1,125м/с,

V_S2 = 103мм = 2,06м/с,

V_S3 = 51,5мм = 1,03м/с.

Пользуясь планом скоростей, определяем угловые скорости ₂ и ₃ звеньев 2 и 3. Величины этих скоростей определяются из равенств:

|₂| = V_BA/l_АВ (3.4.7)

|₃| = V_BC/l3, (3.4.8)

откуда

₂ = 9,068 рад/с,

₃ = 12,136 рад/с.

Мысленно приложив векторы V_BA и V_BC к точке В, видим, что вращение звена 2, как и звена 3, происходит по часовой стрелке.

Построение планов ускорений начинается также с ведущего звена.

Звено ОА вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью ₁ , отсюда полное ускорение а_A точки А:

a_A = ₁² l₁, (3.4.9)

причем направлено это ускорение по направлению звена АО от точки А к точке О.

Для определения ускорения a_В точки В, как и для определения скорости V_в точки В, рассмотрим ее движение как сложное, состоящее из переносного поступательного со скоростями и ускорениями точек А (или С) и относительного вращательного вокруг этих точек. Тогда векторные уравнения для определения ускорения a_B точки В будут следующими:

a_B = a_A+aⁿ_BA+a^_BA,

a_B = a_C+aⁿ_BC+a^_BC (3.4.10)

где aⁿ_BA и aⁿ_BC - нормальные ускорения в относительном движении, а a^_BA и a^_BC - тангенциальные ускорения в том же движении^*). Известно, что нормальные ускорения направлены вдоль соответствующих звеньев от т.В, соответственно к т. А или к т. С. Тангенциальные составляющие ускорений направлены перпендикулярно линиям звеньев.

Решая совместно уравнения (3.4.10), получаем:

a_A + aⁿ_BA+a^_BA = aⁿ_BC+a^_BC, (3.4.11)

т.к. a_С = 0.

В уравнении (3.4.11) известны по величине и направлению векторы a_A и a_C точек А и С. Величины нормальных ускорений aⁿ_BA и aⁿ_BC в относительном движении могут быть определены:

aⁿ_BA =₂² l_АВ ,

aⁿ_BC = ₃² l₃ (3.4.12)

Таким образом, в данном примере

a_A =33,75 м/с²

aⁿ_BA = 9,92 м/с²

aⁿ_BC = 25,039 м/с².

Выберем масштаб плана ускорений _а = 0,2м/с² мм. Из произвольной точки  -полюса плана ускорений (рис.3 л.3) в направлении вектора a_A откладываем отрезок а, равный a_A/_а = 33,75/0,2 = 169мм. Из т. а в направлении вектора aⁿ_BA откладываем отрезок ап₁ = aⁿ_BA/_а = 9,92/0,2 = 49,6мм и из точки п₁ проводим линию, ____________________________________

*) Для механизмов, включающих кулисную пару, вращательное движение кулисы для ползуна будет переносным, поступательное движение ползуна вдоль кулисы - относительным, и в уравнениях вида (3.4.10) появится дополнительный член – кориолисово ускорение а ^к= 2ω_пер×v_отн.

перпендикулярную вектору aⁿ_BA. Из полюса , где на плане ускорений находится также и неподвижная точка С, в направлении вектора aⁿ_BC откладываем отрезок п₂ = aⁿ_BС/_а = 25,039/0,2 = 125,2мм и из точки п₂ проводим линию, перпендикулярную вектору aⁿ_BС. Точка пересечения этих линий, являясь геометрическим решением уравнения (2.11), определяет положение точки В на плане ускорений – точку b. Длина отрезка п₁b определяет в выбранном масштабе величину ускорения a^_BA, отрезка п₂b – величину ускорения a^_BС, отрезка b - величину ускорения a_B. Поэтому получаем:

a_B = 128мм = 25,6 м/с²

a^_BA = 27мм = 5,4 м/с²

a^_BС = 29мм = 5,8 м/с²

Положение точек е, s₁, s₂, s₃ на плане ускорений, аналогично с планом скоростей, определяется из соотношений подобия. Окончательно получаем:

a_Е = 116мм = 23,2м/с²

a_S1 = 84,5мм = 16,9м/с²

a_S2 = 139мм = 27,8м/с²

a_S3 = 64мм = 12,8м/с²

Модули угловых ускорений ₂ и ₃ звеньев АВ и ВС найдем по формулам:

, (3.4.13)

, (3.4.14)

₂ = 45,0с^-2

₃ = 34,12 с^-2

Мысленно перенося векторы a^_BА и a^_BC в точку В, видим, что направление углового ускорения ₂ противоположно направлению угловой скорости ₂, а направление углового ускорения ₃ совпадает с направлением угловой скорости ₃.

3.5

Как известно из теоретической механики, в общем случае все силы инерции тела, совершающего плоскопараллельное движение, могут быть сведены к силе инерции F_и, приложенной в центре масс тела, и моменту сил инерции М_и.

Сила F_и может быть определена по формуле:

F_и = - m a_S, (3.5.1)

где F_и - вектор сил инерции тела, m – масса тела, a_S - вектор полного ускорения центра масс S тела. Направление вектора F_и противоположно направлению a_S.

Зная массы m₁, m₂, m₃ звеньев 1, 2, 3 из исходных данных, находим:

F_и1 = 25,31Н

F _и2 = 47,33Н

F _и3 = 21,88Н

Момент М_и сил инерции направлен противоположно угловому ускорению , его величина может быть определена по формуле:

М_и = - J_S, (3.5.2)

где J_S - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс S и перпендикулярной к плоскости движения тела,  - угловое ускорение тела. Моменты инерции стержней J_S1, J_S2, J_S3 определим по формуле:

J_Si = тl²_i /12 (3.5.3)

J_{S1 =} 0,0281кгм²

J_{S2 =} J_{S3 =} 0,00409кгм²

И по формуле (3.5.2) находим:

М_и1 = 0

М_и2 = 0,184 Нм

М_и3 = 0,140 Нм

Инерционные нагрузки механизма показаны на л.4, 5.

3.6

Силу, действующую на звено с номером i со стороны звена с номером j, будем обозначать через Fij, момент силы Fx относительно точки А - через М_A(Fx), расстояние между какими-либо двумя точками А и В звена АВ - через l_AB.

Определение сил следует начинать с групп ведомых звеньев, наиболее удаленных от ведущего звена, переходя к ведущему звену в последнюю очередь.

Рассматриваемая группа ABC нагружена силами веса Р₂ и Р₃, силами инерции F_и2 и F_и3 и моментами сил инерции М_и2 и М_и3^*).

В точках А и С прикладываем неизвестные пока реакции F₂₁ (со стороны звена ОА) и F_30' (со стороны опоры) и, составляя уравнение равновесия группы АВС, приравниваем к нулю сумму всех сил, действующих на группу:

Р₂ + Р₃ + F₂₁ + Fи₂ + Fи₃ + F_30' =0 (3.6.1)

В этом векторном уравнении нам известны силы Р₂, Р₃, F_и2 и F_и3 по величине, направлению и точкам приложения. Реакции F₂₁ и F_30' нам известны только по точкам приложения. Для определения величин этих реакций раскладываем каждую из них на две составляющие: одну, действующую по оси звена, и другую, перпендикулярную к оси звена. Будем обозначать первую составляющую реакции индексом n, а вторую составляющую - индексом .

Получим:

F₂₁ = Fⁿ₂₁ + F^₂₁, F_30' = Fⁿ_30' + F^_30'. (3.6.2)

___________

*) При задании внешних сил (рабочих усилий или моментов, действующих на звенья механизма) они также должны быть включены в уравнения вида (3.6.1), (3.6.3). Учет сил трения показан ниже, в разделе 3.9.

Величины F^₂₁ и F^_30' могут быть получены из уравнений равновесия, написанных для каждого из звеньев 2 и 3 в отдельности.

Звено 2 находится под действием следующих сил и моментов: силы Р₂, силы F_и2, составляющих F^₂₁ и Fⁿ₂₁ реакции F₂₁, реакции F₂₃ и момента М_и2. Составим уравнение моментов всех сил относительно точки В. Так как в отношении силы F^₂₁ известна только линия действия этой силы, а направление ее неизвестно, при составлении уравнения моментов задаемся произвольным направлением. Если после определения величины этой силы ее знак окажется отрицательным, то ее направление на схеме сил должно быть исправлено на противоположное.

Имеем:

-М_B(Р₂) + М_B(F_и2) - М_B(F^₂₁) + М_и2 = 0 (3.6.3)

В это уравнение моменты от сил Fⁿ₂₁ и F₂₃ не входят, так как линии действия этих сил проходят через точку В, т.е.

М_B(F₂₃) = 0 и М_B(Fⁿ₂₁) = 0 (3.6.4)

Так как М_B(F^₂₁) = F^₂₁*l_AB, то составленное уравнение моментов принимает вид:

-М_B(Р₂) + М_B(F_и2) - F^₂₁*l_AB + М_и2 = 0, (3.6.5)

откуда и определяем величину силы F^₂₁.

Аналогично:

М_B(Р₃) + М_B(F_и3) + М_B(F^_30') – М_и3 = 0, (3.6.6)

М_B(Р₃) + М_B(F_и3) + F^_30'*l_BC – М_и3 = 0. (3.6.7)

При вычислении моментов сил Р₂, Р₃, F_и2, F_и3 в уравнениях (3.6.5), (3.6.7) плечи этих сил относительно т. В определяются по плану положения механизма (рис. 1, л.4) с учетом его масштаба:

h_B(Р₂) = 0,028м

h_B(F_и2) = 0,034м

h_B(Р₃) = 0,044м

h_B(F_и3) = 0,019м

После вычислений получаем:

F^₂₁ = 10,87Н

F^_30' = 6,11Н

Окончательно величины реакций F₂₁, F_30' определяются путем графического решения уравнения (3.6.1), т.е. построения плана сил.

Выберем для его построения масштаб _F = 0,5Н/мм. Из произвольной точки π (л. 4) в направлении силы F^₂₁ отложим отрезок

F^₂₁/_F = 10,87/0,5 = 21,74мм.

Из его конца строим отрезок

Р₂/_F = m₂g /_F = 1,7*9,81/0,5 = 33,35мм ,

далее аналогично достраиваются отрезки

F_и2/_F = 47,33/0,5 = 94,66мм.

F_и3/_F = 21,88/0,5 = 43,76мм.

Р₃/_F = m₃g /_F = 1,7*9,81/0,5 = 33,35мм,

F^_30' /_F = 6,11/0,5 = 12,2мм.

Из конца последнего отрезка F^_30', а также из начала первого отрезка F^₂₁ проводим линии параллельные линиям действия сил Fⁿ_30' и Fⁿ₂₁ соответственно до их пересечения. Полученный таким образом замкнутый силовой многоугольник дает возможность определения искомых реакций F₂₁ (как геометрической суммы сил F^п₂₁ и F^₂₁) и F_30' (как геометрической суммы сил F^п_30' и F^_30'), а также усилия F₂₃ = - F₃₂ в шарнире В (как геометрической суммы сил, действующих на звено 2 или 3).

В соответствии с переместительным свойством векторной суммы (3.6.1) порядок суммирования в ней может быть и иным; важно лишь соблюсти последовательность – строить силы, приложенные к одному звену, затем – к другому. Если это требование нарушить, определяемые из плана сил силы Fⁿ_30' и Fⁿ₂₁ будут найдены, но возможности определить из этого же плана и силу F₂₃ = - F₃₂ не будет, ее надо будет искать отдельно – из условия равновесия звена 2 или 3.

Из построенного плана сил находим:

Fⁿ₂₁ = 57,5мм = 28,75Н

Fⁿ_30' = 58мм = 29Н

F₂₁ = 62мм = 31Н

F₃₀ = 60мм = 30Н

F₃₂ = - F₂₃ = 46мм = 23Н

Динамический анализ звеньев 2,3 представлен на л.4.

3.7

Под воздействием произвольно приложенных сил, в том числе и сил инерции, ведущее звено в общем случае не находится в равновесии. Эти силы переменны по направлению и величине, однако ведущее звено, как задано в исходных данных, совершает равномерное вращательное движение. Это значит, что к ведущему звену должен быть приложен дополнительно вращательный момент, также переменный по направлению и величине, который в каждый момент времени обеспечивает равенство нулю суммарного момента от всех внешних активных и инерционных силовых факторов.

Физически этот дополнительный момент реализуется приводом механизма, присоединенным именно к ведущему звену. Обозначим этот дополнительный момент как уравновешивающий момент M_y. Он может быть приведен к уравновешивающей силе F_y, приложенной, например в точке А перпендикулярно звену 1, действующей на это звено и обеспечивающей заданный равномерный закон его движения.

Таким образом, будем считать, что на звено 1, входящее с неподвижным основанием О во вращательную пару; действуют сила веса Р₁ , сила F₁₂, численно равная силе F₂₁, но направленная в противоположную сторону и представляющая собой воздействие звена 2 на звено 1, сила инерции F_и1, сила F₁₀, представляющая собой реакцию основания на звено 1, и уравновешивающая сила F_y.

Величина момента М_О(F_у) уравновешивающей силы найдется из уравнения моментов всех сил , действующих на звено 1, относительно точки О:

М_O(F_у) + М_O(Р₁) + М_O(F₁₂) + М_O(F_и1) + М_O(F₁₀) = 0. (3.7.1)

Так как линии действия сил F_u1 и F₁₀ проходят через точку О,

М_О(F_и1)=0; М_О(F₁₀) = 0. (3.7.2)

Отсюда:

Мо(F_у) = - М_О(F₁₂) - М_О(Р₁). (3.7.3)

Так как

М_O(F_у) = - F_y* l_AO (= M_y), (3.7.4)

окончательно имеем:

F_у = ( М_О(F₁₂) + М_О(Р₁))/ l_AO. (3.7.5)

При вычислении моментов, входящих в уравнение (3.7.3), замеряем плечи сил по плану положения:

h_p1 = 65мм

h_F12 = 106мм

F_у = (31*106+1,5*9,81*65)/150,

т.е. F_y =28,7Н; М_y = 4,305Нм.

Реакция F₁₀ определится из векторного уравнения:

Р₁ + F_y + F₁₂ + F_и1 + F₁₀ = 0, (3.7.6)

решение которого в виде построенного плана сил показано на л.5.

С плана сил получаем:

F₁₀ = 157мм = 39,25Н.

В качестве проверки можно сравнить величину силы F^₁₀ , полученную с плана сил

F^₁₀ = 24мм = 6Н

с величиной, определяемой из условия равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих на звено ОА, относительно точки А:

Р₁*65 - F^₁₀*150 = 0, (3.7.7)

откуда F^₁₀ = 6,37Н. Соответствие результатов вполне удовлетворительно для графоаналитических методов.

План сил, действующих на ведущее звено, представлен на л.5.

3.8

На звенья механизма действуют внешние силы (силы веса), силы инерции и моменты инерционных сил.

В соответствии с методом Жуковского, для определения уравновешивающей силы план скоростей механизма поворачивают на 90 (безразлично - по часовой стрелке, или в противоположном направлении), и на него переносят все активные и инерционные силовые факторы, действующие на механизм, в том числе и уравновешивающая сила F_у. Эти силы прикладывают в соответствующих точках плана скоростей с сохранением направлений, определенных для сил в разделах 3.5…3.7 (т.е. без каких-либо поворотов). Далее составляют уравнение равновесия относительно полюса р плана скоростей как некоего плоского тела, находящегося под действием всех перенесенных на него сил и моментов.

В рассматриваемом здесь примере получаем:

М_P(F_у) + М_P (Р₁) + М_P (Р₂) + М_P (Р₃) + М_P (F_и1) + М_P (F_и2) + М_P (F_и3) + М_и2 + М_и3 = О

(3.8.1)

Обозначая плечи сил Р₁, Р₂, Р₃, F_и1, F_и2, F_и3, F_y относительно полюса р плана скоростей соответственно через hр₁, hр₂, hр₃, hи₁, hи₂, hи₃, h_y и учитывая, что hи₁ = 0, а также учитывая совпадение или несовпадение направлений М_и2 и ₂, М_и3 и ₃, имеем:

_v(F_уh_y – Р₁hр₁ – Р₂hр₂ – Р₃hр₃ – F_и2hи₂ – F_и3hи₃) + М_и2₂ - М_и3₃ = 0, (3.8.2)

где _v = 0,02 – масштаб плана скоростей.

Подставляя в (3.8.2) значения

hр₁ = 48мм,

hр₂ = 65мм,

hр₃ = 25,5мм,

hи₂= 18мм,

hи₃ = 12,5мм,

h_y = 112,5мм,

снятые с повернутого плана скоростей (л. 6), а также величины F_и2, F_и3, М_и2, М_и3, определенные в разделе 3.5, ₂ и ₃, определенные в разделе 3.4, и величины весов, определяемые через заданные значения масс звеньев, получаем

F_у = 29,7 Н,

что вполне удовлетворительно соответствует результату, полученному в разделе 3.7.

Построение рычага Жуковского представлено на л.6.

3.9

Учет влияния сухого трения в кинематических парах при расчете сил, действующих на звенья, производится методом последовательных приближений [1].

В первом приближении определяются моменты сил трения в шарнирах из соотношений

М_ij^тр = r_шf_трF_ij, (3.9.1)

где F_ij – усилие в кинематической паре между i и j звеньями, определенное в разделе 3.6 без учета сил трения, r_ш = d_ш /2 – радиус шипа в шарнире, f_тр – коэффициент трения.

В рассматриваемом примере f_тр = 0,1, d_ш =20мм, величины моментов сил трения определяются:

M_30'^тр = 0,03Нм,

M₂₁^тр = 0,031Нм,

M₂₃^тр = 0,023Нм,

M₁₀^тр = 0,03925Нм.

Направление момента сил трения определятся направлением угловой скорости в шарнире. Трение в нем направлено против скорости относительного движения двух звеньев, л. 7. Поэтому в шарнире В, соединяющем звено 3, которое вращается по часовой стрелке с угловой скоростью ₃ = 12,136 рад/с, и звено 2, вращающееся также по часовой стрелке с угловой скоростью ₂ = 9,068 рад/с, момент сил трения, приложенный к звену 3 (M₃₂^тр), направлен против часовой стрелки; равный ему по величине момент сил трения, приложенный к звену 2, (M₂₃^тр) направлен по часовой стрелке.

Из аналогичных соображений следует, что момент трения в опоре О^’ M_30'^тр направлен против часовой стрелки, момент трения в шарнире А, действующий на звено 2 со стороны звена 1 M₂₁^тр, направлен по часовой стрелке, а равный ему по величине момент, действующий на звено 1 со стороны звена 2 M₁₂^тр, направлен против часовой стрелки и, наконец, момент трения в опоре О M₁₀^тр – против часовой стрелки.

С учетом полученных таким образом величин моментов сил трения уравнение (3.6.5) принимает вид

- М_B(Р₂) + М_B(F_и2) – F'^₂₁*l_AB + М_и2 + M₂₁^тр + M₂₃^тр = 0, (3.9.2)

где F'^₂₁ – значение тангенциальной составляющей усилия в шарнире А во втором приближении. После вычислений получим F'^₂₁ = 11,33Н, что отличается от значения F^₂₁ = 10,87Н, полученного в первом приближении без учета трения, менее чем на 5%.

Аналогично, уравнение (3.6.7) принимает вид

М_B(Р₃) + М_B(F_и3) - F'^_30'*l_BС - М_и3 - M_30'^тр – M₃₂^тр = 0, (3.9.3)

где F'^_30' – значение тангенциальной составляющей усилия в шарнире О' во втором приближении. После вычислений получим F'^_30' = 6,42Н, что отличается от значения F^_30' = 6,11Н, полученного в первом приближении, менее чем на 5%.

Очевидно, что в результате построения планов сил для этой пары звеньев и остальные определяемые силы (F'ⁿ₂₁, F'ⁿ_30', F'₂₁, F'_30', F'₃₂ = - F'₂₃) будут отличаться во втором приближении от значений, полученных без учета сил трения не более, чем на 6…7%.

Для ведущего звена уравнение (3.7.5) с учетом моментов сил трения принимает вид

F^'_у = (М_О(F₁₂) + М_О(Р₁) + M₁₂^тр + M₁₀^тр)/ l_AO, (3.9.4)

где F^'_у – значение уравновешивающей силы во втором приближении. После вычислений получим F'_у = 28,8Н, что отличается от значения F_у = 28,7Н в первом приближении менее чем на 3,5%. Очевидно, и усилия в шарнире О не будут отличаться от определенных в первом приближении более чем на 3…4%. Введение моментов сил трения в "рычаг Жуковского", очевидно, даст поправку к величине F_у такого же порядка малости.

В рассмотренном примере оказывается достаточным сделать всего одно приближение для уточнения усилий в элементах механизма с учетом сил трения. В случае, если первое приближение дает более значительные поправки для тангенциальных составляющих усилий в шарнирах, чем 5…10%, необходимо уточнить величины нормальных составляющих и полных реакций в шарнирах на планах сил и выполнить второе приближение в учете сил трения, подставляя в формулу (3.9.1) значения F_ij , полученные в первом приближении.

3.10

Величина кинетической энергии T_i звена i для общего случая плоско - параллельного движения вычисляется по формуле:

T_i = (J_si _i² + m_i V_si²)/2, (3.10.1)

где J_si - момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс S_i, _i - угловая скорость, m_i – масса, V_si - скорость центра масс i- звена.

Моменты инерции Js_i вычислены в разделе 3.5. Формула (3.10.1) дает:

T₁ = 4,11 Дж

Т₂ = 5,29 Дж

Tз = 4,00 Дж

Кинетическая энергия механизма равна сумме кинетических энергий звеньев механизма:

T = T_i , (3.10.2)

т.е. Т = 13,40 Дж.

Найдем значения массы, приведенной к т. А, и момента инерции, приведенного к первому звену, используя следующие соотношения:

(3.10.3)

(3.10.4)

Отсюда:

(3.10.5)

(3.10.6)

Для данного положения механизма:

m_n  = 5,29 кг;

J_n = 0,119 кгм².