Пример 3. При условии предыдущей задачи определить ускорение в т. А1, а2 и груза 4 через 1,5 с. После начала вращения. Время разгона равно 2 с., движение считаем равноускоренным.

При равноускоренном движении угловое ускорение колеса 1:

ε=const; ω₁=ω₀₁+ε₁t

Т. к. при t=0; ω₁=0; а при t₁=2 с. ω₁= 10 с⁻¹

ε₁=ω₁ /t₁ =5 с⁻²

Угловое ускорение колеса 2:

ε₂=ε₁ R₁ /R₂=  с⁻²

Угловые скорости колес 1, 2 при t₁=1,5 с.

ω₁=ε₁t = 7,5 с⁻¹ ω₂=ε₂t =1,5  с⁻¹

Скорости т. А1, А2 при t₁=1,5 с

v_A1=v_A2=ω₁ R₁ =75  см/с

Скорости т. А3 и груза 4 при t₁=1,5 с.

v_A3=v₄= ω₂R₃ = 30 см/с

Тангенциальные и нормальные ускорения т. А1, А2 при t₁=1,5 с

а^τ_A1=а^τ_A2=ε₁ R₁ =ε₂ R₂ = 50 см/с²

аⁿ_A1=ω₁²R₁ =562,5 ² см/с² аⁿ_A2=ω₂²R₂ =112,5 ² см/с²

Тангенциальные и нормальные ускорения т. А3 при t₁=1,5 с.

а^τ_A3= ε₂ R₃ = 20 см/с²

аⁿ_A3=ω₂²R₃ =45² см/с²

Ускорение груза 4 при t₁=1,5 с.

а₄= а^τ_A3=20 см/с²

2. Плоское или плоскопараллельное движение

П лоским или плоскопараллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости Р.

На рис. показано ряд сечений плоского тела плоскостями S, S₁, S₂ параллельными плоскости Р. При движении тела, точки, лежащие на прямых AA*, BB*, перпендикулярных к этим плоскостям, движутся тождественно. Поэтому для изучения движения тела достаточно изучить движение плоской фигуры, которая будет перемещаться в плоскости параллельной пл. Р.

Положение сечения в плоскости определяется положением какого либо отрезка, например АВ. Для этого необходимо знать координаты точки А, которую называют полюсом и угол φ, который отрезок АВ, образует с осью Х.

.

Уравнения плоского движения определяют движение полюса и поворот тела:

Основными кинематическими характеристиками являются скорость и ускорение полюса, а также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения.

Скорость любой точки тела при его плоском движении равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки в ее вращении вместе с телом вокруг этого полюса.

С корость точки В:

АВ .

где − скорость полюса; - скорость точки В при вращении вокруг полюса А;  − угловая скорость тела .

Теорема о проекциях скоростей

П роектируя обе части равенства

,

на линию АВ и учитывая, что вектор перпендикулярен к АВ, находим:

,

Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны друг другу.

Тогда:

V_B= V_A cosα /cosβ

Угловая скорость и угловое ускорение одинаковы для всех точек тела. Угловую скорость ω можно найти, если определены проекции скоростей т. А, В на ось Y, перпендикулярную к оси X, которая проходит через т. А, В − V_AY, V_BY

V_AY=V_Asinα; V_BY= V_B sinβ.

Угловая скорость тела:

Мгновенный центр скоростей

Скорость любой точки фигуры при ее плоском движении можно найти с помощью мгновенного центра скоростей (точки сечения, скорость которой в данный момент времени равна нулю).

Пусть известна скорость т. А и направление скорости т. В при плоском движении твердого тела. Проведем перпендикуляры АР и ВР к направлениям скоростей точек А, В.

Проекции скоростей точек, лежащих на линиях АР и ВР (например т. А₁ и В₁) на эти линии равны нулю. В точке пересечения этих линий скорость, проекции которой на две непараллельные оси равны 0, равна нулю.

П оложение мгновенного центра скоростей определяется как точка пересечения перпендикуляров к векторам скоростей двух точек тела. Угловую скорость тела ω можно найти из соотношения.

здесь т. Р − мгновенный центр скоростей, АР и ВР − расстояния от точек до мгновенного центра скоростей.

После того как положение мгновенного центра скоростей (т. Р) найдена, скорость любой точки тела определяется как вращательная скорость вокруг т. Р:

П ример 1. Линейка эллипсографа шарнирно соединена с ползунами А, В, которые перемещаются по прямолинейным напрвляющим

OX и OY . Скорость т. А − v_А задана. Найти скорость точки В.

Решение. Поскольку направления и известны, то проектируя их на АВ, согласно теореме о проекциях скоростей, получим:

; .

Примерами плоского движения являются движение шатуна кривошипно-шатунного механизма и качение колеса.

Пример 2. Определить скорость ползуна кривошипно-шатунного механизма в заданном положении при известной угловой скорости  кривошипа, длина которого OA = r

Решение.

1. Кривошип ОА вращается вокруг т. О. С корость т. А направлена перпендикулярно к радиусу ОА:

ОА.

2. Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение. Проекции скоростей т. А и В на линию, которая их соединяет равны:

;

3. Такой же результат получим при определении скоростей, используя мгновенный центр (МЦС). Проведем линии АР, ВР перпендикулярно направлениям скоростей в этих точках. Точка их пересечения является МЦС.

Угловая скорость звена АВ

‌ ω_АВ= v_A/ AP= v_B/ BP

v_B= v_A BP/ AP

В прямоугольном треугольнике АРВ угол АРВ 30 и

BP/ AP =1 / cos 30

Лк 2 КУ Лк 3

Ускорения точек твердого тела при его

плоскопараллельном движении

Ускорение любой точки плоской фигуры при ее плоском движении равно геометрической сумме ускорений полюса и ускорений точек при вращении фигуры относительно полюса. Вращательное ускорение равно геометрической сумме нормального и касательного ускорений.

Полное ускорение т. В равно векторной сумме ускорения т. А, а также нормального и тангенциального ускорений т. В относительно А

Вектор нормального ускорения направлен от т. В к т. А, а его модуль:

а_ВАⁿ=ω_АВ² АВ

здесь ω_АВ − угловая скорость тела.

Вектор тангенциального ускорения т. В относительно А направлен перпендикулярно к АВ, а его модуль:

здесь ε − угловое ускорение.

Таким образом, ускорение какой либо точки (например, точки В) твердого тела можно определить, если дано значениях ускорения полюса , известны угловая скорость  и угловое ускорение  тела. В некоторых случаях вместо углового ускорения могут использоваться данные о направлении ускорения в т. В или одной, например, тангенциальной, составляющей.

,

где - ускорение точки В при вращении вокруг точки А: .

Нормальное (центростремительное) ускорение направлено от точки В к полюсу А, .

Тангенциальное (вращательное ускорение) перпендикулярно к нормальному и линии, соединяющей полюс с т. В АВ, а его величина:

. Пример. Определить ускорение т. В кривошипно-шатунного механизма в заданном положении. Кривошип ОА длиной 0,6 м делает n=300 об./мин.

Решение. 1. Кривошип ОА вращается вокруг т. О, а его угловая скорость:

ω_ОА=  n/ 30 == 10 с⁻¹

Скорость т. А направлена перпендикулярно к радиусу ОА:

v_A=6 м/с ; ОА.

С корости точек тела можно определить графически, если откладывать векторы скоростей в масштабе в соответствии с их направлением.

v_BA= v_B sin 30= v_A tg 30=3,464 м/с

Ускорение т. В:

(1)

В уравнении (1) известны направления всех векторов, легко определить модули ускорений а_А, а_ВАⁿ. Ускорение а_В направлено по направляющей также как и скорость т. В. Нормальное ускорения а_ВАⁿ − от т. В к А, а тангенциальное перпендикулярно к АВ.

1. Нормальное ускорение т. А

а_Аⁿ=ω²_ОА ОА= 60 ² м/с²; т. к. ω=const;

ε=0; а_А^τ=0.

Полное ускорение а_А=а_Аⁿ и направлено от т. А к центру вращения в т. О.

2. Угловая скорость звена АВ

ω_АВ= v_BA/ ВА

AB=1,039 м; ω_АВ= 3,33 м/с

3. Нормальное ускорение т. B относительно А:

а_ВАⁿ=ω²_АВАВ= 10,39 ² м/с²

4 . Выберем направление координатной оси Y таким образом, чтобы оно совпадало направлением звена АО, направление оси X тогда будет совпадать с направлением

звена АВ. Модули ускорений а_В, а_ВА^τ определим, проектируя левую и правую части уравнения (1) на оси координат X, Y:

а_В cos 30=а_ВАⁿ

а_В sin 30=а_А −а_ВА^τ