Кинематика

Кинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение, рассматриваемое без учета сил, приложенных к движущимся объектам. Другими словами, кинематика исследует изменения положения тел в пространстве, происходящие с течением времени.

Кинематика точки

Способы задания движения: естественный, векторный и координатный.

Движение тела или материальной точки считают известным, если существует возможность определить их положение относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени. Задание движения точки может быть осуществлено естественным или

координатным способами. Геометрическое место всех положений движущейся точки М называют её траекторией.

Естественный способ определения движения точки

П ри естественном способе определения движения точки должны быть известны ее траектория и дуговая координата как функция времени s=s(t). Должно быть указано также начало отсчета и положительное направление движения.

Скорость точки направлена по касательной к траектории, а ее величина и направление определены величиной и знаком производной

.

В екторный способ задания движения

Положение точки М в пространстве определяется её радиус–вектором . Траекторией является геометрическое место концов вектора

Вектор скорости

Скоростью точки М, определяющей как быстро и в каком направлении она движется в данный момент времени t, называют предел

Вектор скорости равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.

Так как предельным положением секущей ММ₁ является касательная к траектории точки, то и вектор ее скорости в данный момент времени t направлен по касательной к траектории в сторону движения.

Вектор ускорения

В еличину называют средним ускорением точки за время . Предел отношения

,

характеризующий изменение скорости в данный момент времени t, называют ускорением точки. Вектор ускорения равен первой производной от вектора скорости точки по времени или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

Ускорение, направлено в сторону вогнутости траектории.

Координатный способ задания движения

В прямолинейной системе координат Oxyz вектор может быть представлен в виде

,

координаты точки М, определяющие закон ее движения в зависимости от времени t ;

- нормированный базис Oxyz.

1. Проекции скорости на оси координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени:

2. Проекции ускорения на оси координат равны первым производным от проекций скоростей точки или вторым производным от соответствующих координат точки по времени:

Величины (модули) скорости и ускорения в декартовой ортогональной системе координат определяют по формулам

,

а направления и характеризуют их направляющие косинусы

.

Задание движения в естественных осях

Предельное положение прямой, проходящей через точки М и М₁ траектории L точки М, когда М₁ стремится к М, определяет касательную к этой кривой в точке М. Обозначим - единичный направляющий вектор касательной к L в точке М.

Соприкасающаяся плоскость в точке М кривой L определяется как предельное положение плоскости, содержащей в себе касательную в точке М кривой и любую точку М₁ на ней, когда М₁ стремится к М.

Нормаль к кривой в точке М, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью к кривой в т.М. Нормаль к кривой, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Прямоугольную систему взаимно ортогональных осей, направленных по называют естественными осями кривой L. Направление вектора скорости принимают за положительное направление касательной .

П оложительное направление главной нормали считают в сторону вогнутости кривой, а бинормаль направляют так, чтобы получившаяся система осей являлась правой.

К ривизной «k» кривой L в точке М называют предел

.

Радиусом кривизны «» кривой L в точке М называют величину обратную ее кривизне в этой точке

.

Так, например, дуга окружности длиной s, опирающаяся на центральный угол : ,

где R – радиус окружности, то радиус кривизны для окружности

Ускорение точки можно разложить на тангенциальное , направленное по касательной к траектории и характеризующее изменение величины скорости, и нормальное , направленное по главной нормали к центру кривизны траектории и определяющее изменение направления .

Так как в естественных осях траектории скорость может быть представлена в виде , то, дифференцируя это соотношение по времени, получим ускорение:

, Касательное ускорение (проекция ускорения точки на касательную) равно первой производной от величины скорости от времени:

Нормальное ускорение

Абсолютная величина может быть определена по формуле

.

Задача. По заданным уравнениям движения точки

x = 2t (см), (см)

определить ее траекторию, положение, скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории в заданное время t₁ = 2c.

Решение.

1 .Уравнение траектории получим, исключив из уравнений движения время: - парабола с вершиной в точке (0,-2).

Построим траекторию по точкам:

2.Величина скорости точки ; см/с; ; при t₁=2с, v_x=2 см/с v_y=6см/с;

3. Величина ускорения точки ; ; ; .

4.Касательное ускорение ; при t₁ = 2с .

5.Нормальное ускорение ;

при t₁ = 2c : .

6.Радиус кривизны траектории ; при t₁ = 2c

см.

Кинематика твердого тела

Твердые тела можно рассматривать как совокупность точек, расстояния между которыми в процессе их перемещения остаются неизменными. Угол между пересекающимися прямыми, связанными с телом, сохраняется без изменения, а параллельные прямые остаются параллельными при его движении. Положение точек твердого тела полностью определено, если известно положение трех его точек, не лежащих на одной прямой.

1. Простейшие движения твердого тела

К простейшим относятся поступательное и вращательное движение тела вокруг неподвижной оси.

1.1. Поступательное движение. При поступательном движении любой отрезок прямой (например, отрезок АВ), проведенный в твердом теле, остается параллельным самому себе.

Выберем подвижную систему отсчета Axyz , оси которой связаны с данным телом и передвигаются вместе с ним.

Т. к. при поступательном движении оси координат остаются параллельными своему начальному направлению, координаты любой точки (например т. В) твердого тела в подвижной системе отсчета остаются постоянными, а ее движение тождественно движению т. А.

Следовательно, траектории движения всех точек одинаковы. Одинаковыми по модулю и направлению будут также скорости и ускорения твердого тела при его поступательном движении.

Поступательное движение твердого тела полностью определяется движением одной его точки.

Все точки тела движутся по идентичным траекториям, а их скорости и ускорения одинаковы.

Скорости и ускорения при простейших движениях точек тела при его

поступательном движении

1. Равномерное прямолинейное движение (v=const) по оси Х

x=x₀+vt, a=0.

2. Равномерное криволинейное движение (v=const)

s=s₀+vt,

где s − дуговая координата; s₀ − дуговая координата в начальный момент времени при t=0.

3. Равноускоренное движение (a=const)

v=v₀+ а_τ t

здесь v₀ − начальная скорость при t=0.

1.2. Вращательное движение твердого тела

Вращательным движением называется такое движение, при котором любые две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными.

П рямая, соединяющая эти точки называется осью вращения все точки этой прямой также остаются неподвижными. Остальные точки тела движутся по окружностям в параллельных плоскостях, перпендикулярных оси вращения, а их центры расположены на оси вращения.

Такое движение вполне определяется углом поворота тела  относительно некоторого начального положения:

За время t угол  изменяется на величину . Отношение  к t называют средней угловой скоростью тела за время t , .

Угловая скорость тела:

.

Угловая скорость тела равна первой производной от угла поворота по времени.

Отношение  к t называют средним угловым ускорением . Угловое ускорение:

Угловое ускорение тела равно первой производной от угловой скорости по времени.

Перемещения S и скорости точек можно определить из соотношений:

S = ;

здесь R − радиус вращения.

.

Нормальное (центростремительное) и тангенциальное (вращательное) ускорения определим из соотношений:

, ;

,

Полное ускорение точки:

.

Модули скоростей и ускорений точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения.

Равнопеременное вращение тела

При равнопеременном вращении твердого тела вокруг неподвижной оси: ε= const

Так как

После интегрирования с учетом начальных условий получим:

ω=ω₀+ε t

φ =φ₀ +ω₀t+ε t²/2, здесь ω₀ и φ₀ − угловая скорость и угол поворота в начальный момент времени при t=0.

Пример 1. Груз, опускаясь согласно уравнению (м), приводит посредством троса в движение барабан радиуса R = 0,2м (рис.11.10). Определить скорость и ускорение точки М барабана при t₁= 2с.

Решение. Скорость груза равна скорости точки М барабана

Угловая скорость барабана:

.

Угловое ускорение .

При t₁=2c: , ;

Нормальное ускорение:

,

Тангенциальное ускорение:

,

Полное ускорение:

.

Пример 2. Вал 1 с зубчатым колесом 1 при вращении делает n=300 об./мин. Колесо 1 находится в зацеплении с зубчатым колесом 2. Радиусы делительных окружностей колес составляют R₁=10 см, R₂=50 см. На валу 2 смонтирован барабан 3 радиуса R₃= 20 см, который вращается вместе с зубчатым колесом 2. Найти скорость перемещения груза 4, подвешенного на тросе.

Решение. 1. Угловая скорость колеса 1:

ω₁=  n/ 30 = 10 с⁻¹

2. Линейные скорости точек, колес 1, 2 в точках контакта А равны в любой момент времени:

v_A=ω₁R₁=ω₂R₂ = 100  см/с

такую же скорость имеют точки А₁, А₂ .

3. Угловая скорость колеса 2 и барабана 3:

ω₂= ω₁R₁ /R₂= 2  с⁻¹

4. Скорость перемещения груза 4, такую же скорость имеют точки на наружной поверхности барабана (например, т. А₃):

v₄=ω₂R₃= 40  см/с