6.3. Закон Био-Савара-Лапласа

В 1820 г. Био и Савар исследовали магнитные поля, создаваемые токами, текущими по тонким проводам различной формы. Путем анализа этих экспериментальных данных Лаплас установил закон, получивший название закона Био-Савара-Лапласа:

1) Магнитное поле любого тока может быть найдено как векторная сумма полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока. Каждый элемент тока характеризуется величиной , где - сила тока, текущего в этом элементе, - длина элемента тока, а вектор указывает направление тока.

2) Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока Лаплас получил выражение

(6.4)

где - радиус-вектор, проведенный из точки расположения элемента тока в точку наблюдения, где определяется индукция , (см. рис. 6.3), - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения и магнитных свойств среды, где протекает ток; в системе СИ для вакуума

где - магнитная проницаемость вакуума, измеряемая в .

Модуль выражения (6.4) равен

(6.5)

где - угол между векторами и .

Рис. 6.3. К формулировке закона Био-Савара-Лапласа

Применим формулу (6.5) для вычисления магнитного поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямолинейному проводу теоретически бесконечной длины (см. рис. 6.4).

Рис. 6.4.

Векторы от всех элементов тока прямолинейного провода в точке наблюдения направлены одинаково – за плоскость чертежа. Точка наблюдения находится на расстоянии от провода. Согласно рис. 6.4,

Эти выражения подставим в (6.5):

При движении вдоль провода угол изменяется в пределах от до . Поэтому

(6.6)

Линии индукции магнитного поля - касательные к вектору индукции в каждой точке. Для прямолинейного провода с током эти линии представляют собой концентрические окружности, охватывающие провод, как показано на рис. 6.5. Плоскости окружностей перпендикулярны к проводу.

Рис. 6.5. Линии индукции магнитного поля

прямолинейного провода с током

Направление обхода линий индукции задается вектором индукции магнитного поля. Это направление связано с направлением тока в проводе по правилу правого винта, как видно из рис. 6.5.

Применение принципа суперпозиции и формулы (6.4) позволяет найти индукцию магнитного поля, создаваемого постоянным током силой , который течет по замкнутому контуру :

(6.7)

где - радиус-вектор, проведенный от элемента тока к точке наблюдения, где вычисляется вектор .

Формула (6.7) применима для линейного тока. Пусть постоянный ток распределен в объеме с плотностью . Переход от линейного тока к объемному току поясняет рис. 6.6, где показан элемент тонкого проводника длиной и поперечным сечением .

Рис. 6.6.

Объем элемента равен . Связь силы тока с плотностью тока в проводнике дается формулой , откуда , или в векторном виде

(6.8)

С учетом (6.8) из (6.7) выражаем индукцию магнитного поля, созданного объемными токами, распределенными в объеме как

(6.9)