6.1. Основные понятия теории случайных процессов

На практике часто встречаются случайные величины, непрерывно изменяющиеся в процессе опыта.(процесс качки корабля).

Пусть t – вещественная переменная, которую будем называть временем, а Т – множество её возможных значений. Случайный процесс будем обозначать , а его реализацию – .

Если зафиксировать значение аргумента t, то случайный процесс превращается в обычную случайную величину. Эта случайная величина называется сечением случайного процесса, соответствующим данному значению времени t. Функция , зависящая от переменных и , называется одномерной функцией распределения случайного процесса . Если сечения случайного процесса являются непрерывными случайными величинами и дифференцируема по переменной х, то функция называется одномерной плотностью распределения .

6.2. Основные характеристики случайных процессов

Математическим ожиданием случайного процесса называется неслучайная функция , которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения этого случайного процесса. Дисперсией случайного процесса называется неслучайная функция , которая при каждом значении аргумента t равна дисперсии соответствующего сечения этого случайного процесса. Неслучайная функция называется средним квадратическим отклонением случайного процесса.

Если известна одномерная плотность распределения случайного процесса , то математическое ожидание и дисперсия могут быть найдены по формулам:

, .

Корреляционным моментом (автокорреляционной функцией) случайного процесса называется неслучайная функция двух аргументов , которая при каждой паре значений равна корреляционному моменту соответствующих сечений, т.е. , где , . При справедливо равенство . Автокорреляционная функция характеризует степень и характер зависимости между сечениями случайного процесса, соответствующими различным значениям аргумента t.

6.3. Стационарные случайные процессы

Перейдём к математическому определению стационарного случайного процесса. Случайный процесс называется стационарным, если при любых значениях имеют место равенства

и ,

где – некоторая функция одного аргумента. Из второго равенства следует, что для стационарного случайного процесса

.

Таким образом, для стационарного случайного процесса математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а автокорреляционная функция зависит лишь от степени близости значений своих аргументов.