4.1. Закон распределения функции случайного аргумента

Пусть имеется СВ Х с заданным законом распределения. Другая СВ Y связана с СВ Х зависимостью , где ‑ задана.

Х – дискретная СВ с возможными значениями и их вероятностями . Определим и построим ряд распределения СВ Y.

Теорема. Пусть Х – непрерывная СВ с плотностью вероятности , а – дифференцируемая строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция. Тогда плотность вероятности СВ Y определяется равенством

,

где – функция, обратная к .

4.2. Математическое ожидание и дисперсия функции св

Пусть имеется СВ Х с заданным законом распределения. Другая СВ Y связана с СВ Х зависимостью , где – заданная функция.

Если Х – дискретная СВ с возможными значениями и их вероятностями , то математическое ожидание и дисперсия СВ Y определяются по формулам

, .

Если Х – непрерывная СВ с плотностью вероятности , то

, .

Пусть – случайный вектор, а СВ Z связана с Х и Y зависимостью , где – заданная функция. Тогда если Х и Y – дискретные СВ с возможными значениями и и известны вероятности , , , то

,

.

Если Х и Y – непрерывные СВ и известна плотность , то

, .

4.3. Основные свойства математического ожидания

1. Если с – константа, то .

2. Если с – константа, Х – СВ, то .

3. Если Х и Y – две СВ, то .

по индукции можно получить равенство .

4. Если Х и Y – две СВ, то .

Если Х и Y не коррелированны, то . Если – независимые СВ, то .

4.4. Основные свойства дисперсии

1. Если с – константа, то .

2. Если с – константа, Х – СВ, то .

3. Если Х и Y – произвольные СВ, то , .

Если Х и Y не коррелированные, то . Или – независимые СВ, то

.

5.1. Закон больших чисел

Если Х – СВ с математическим ожиданием и дисперсией , то

( неравенство Чебышева).

Теорема Чебышева. Если – случайные величины, которые независимы, одинаково распределены и имеют математическое ожидание m и дисперсию D, то при неограниченном увеличении n случайная величина сходится по вероятности к константе m, т.е.

.

Доказательство. Рассмотрим СВ . В силу свойств математического ожидания и дисперсии и независимости имеем и , поэтому неравенство Чебышева для СВ при произвольном будет иметь вид . Правая часть при увеличении n стремится к нулю, откуда следует справедливость утверждения теоремы.

Теорема Бернулли. Если – относительная частота появления некоторого события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А появляется с некоторой вероятностью р, то при неограниченном увеличении n относительная частота сходится по вероятности к константе p, т.е.

.

Пусть через число появлений события А в i-м испытании. Очевидно, , – дискретные СВ с возможными значениями 0 и 1, при этом , , . В силу независимости испытаний, СВ независимы, при этом , , и Применяя теорему Чебышева к СВ , получим утверждение теоремы Бернулли.

5.2. Центральная предельная теорема

Теорема Ляпунова. Если – случайные величины, которые независимы, одинаково распределены и имеют математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение , то при неограниченном увеличении n случайная величина сходится по распределению к величине , т.е.

.

Замечание. При условиях, сформулированных в теореме, закон распределения СВ при увеличении n приближается к , а закон распределения СВ – к , т.е.

.

При большом числе независимых измерений СВ Х закон распределения суммы и среднего арифметического результатов измерений близок к нормальному.

Теорема Лапласа. Если – число появлений некоторого события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых это событие появляется с вероятностью р, то при неограниченном увеличении n случайная величина сходится по распределению к случайной величине .

Замечание. Из теоремы следует, что закон распределения СВ при увеличении n приближается к , а закон распределения относительной частоты – к , т.е.

, где .