1.6. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей

Пусть А и В – два произвольных события. Относительные частоты событий А, В и в n повторения испытания выражаются отношениями , и , где – число появлений события в n испытаниях. Обозначим через относительную частоту события А в тех испытаниях, где появилось событие В, а через – вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Поскольку

,

то естественно положить и .

‑ произвольные событий А и В. Независимость событий всегда взаимна.

Теорема. Вероятность произведения произвольных событий вычисляется по формуле . (математической индукцией).

1.7. Теорема сложения вероятностей

Теорема. Вероятность суммы двух произвольных событий А и В вычисляется по формуле .

Если то . (Индукция)

Доказательство. , , .

1.8. Формула полной вероятности

Пусть требуется найти вероятность некоторого события А, которое может произойти только совместно с одним из событий , образующих полную группу попарно несовместных событий (гипотез). Тогда искомая вероятность вычисляется по формуле

,

называемой формулой полной вероятности.

1.9. Формула Байеса

Пусть имеется полная группа попарно несовместных событий (гипотез) . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны . Проведён опыт, в результате которого произошло событие А. Требуется найти условную вероятность гипотезы после того как произошло событие А.

Справедлива следующая формула, называемая формулой Байеса:

,

где .

Вероятность называется априорной вероятностью гипотезы , а – апостериорной вероятностью этой гипотезы.

1.10. Вычисление вероятностей в схеме повторных независимых испытаний

Пусть есть событие А, , . Испытания повторяются независимо друг от друга при неизменных условиях n раз. Требуется найти вероятность того, что при n повторениях испытания событие А произойдёт ровно m раз ( ). Рассмотрим , где , , . . . , , . , , где . .

2.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные величины

Случайной величиной (СВ) называется такая величина, которая в результате опыта может принять одно и только одно значение из некоторого подмножества числовой прямой.

Случайная величина Х называется дискретной, если она принимает только отдельные изолированные друг от друга значения с определёнными вероятностями. Множество возможных значений дискретной СВ может быть конечным или счётным.

Случайная величина Х называется непрерывной, если множество её возможных значений – конечный или бесконечный промежуток числовой прямой, причём вероятность появления каждого отдельного значения равна нулю.

2.2. Ряд и многоугольник распределения дискретной св

Пусть Х – дискретная СВ, которая в результате опыта принимает одно из значений , а , – вероятности появления этих значений. События , являются, очевидно, попарно несовместными и образуют полную группу, поэтому

.

Законом распределения дискретной СВ называется любое соотношение, устанавливающее связь между её возможными значениями и их вероятностями . Простейшей формой задания закона распределения дискретной СВ с конечным множеством значений является следующая таблица, называемая рядом распределения:

Х			. . .
р			. . .

Предполагается, что . Если множество возможных значений дискретной СВ счетное, то её ряд распределения иногда удаётся представить формулой вида , , где р – некоторая функция и выполняется условие .