Четырехвектора

Полезно собирать воедино отличные от координат величины, которые преобразуются так же, как и координаты; эти соединенные величины называют векторами, или направленными отрезками.

Существуют ли величины, которые преобразуются при переходе от неподвижной системы координат к движущейся так же, как и х, у, z, t? Три из этих величин, подобно х, у, z, могли бы представлять собой три компоненты обычного пространственного вектора, а четвертая могла бы оказаться похожей на обычный скаляр относительно пространственных вращений: она бы не изменялась, пока мы не перейдем в движущуюся систему координат. Возможно ли связать с одним из известных «тривекторов» некоторый четвертый объект (который можно назвать «временной компонентой») таким образом, чтобы вся четверка «вращалась» точно также, как изменяются пространство и время в пространстве-времени?

Можно доказать, что существует по крайней мере одна такая четверка (на самом деле не одна): три компоненты импульса и энергия в качестве временной компоненты преобразуются вместе и образуют так называемый «четырехвектор».

Исходные выражения:

Кроме того необходима формула для преобразования скорости. Для простоты рассмотрим в начале случай отсутствия поперечной компоненты скорости:

В результате алгебраических преобразований получаем:

Учитывая, что поперечный импульс сохраняется при переходе в движущуюся систему координат, можем записать также

Для сравнения приводим преобразования Лоренца для координат пространства-времени:

Замечаем полную аналогию в законах преобразования величин:

Е/с  ct

p_x  x

p_y  y

p_z  z

Таким образом, эти преобразования выявили четыре величины, которые преобразуются подобно х, у, z, t. Назовем их четырехвектор импульса. Так как импульс - это четырехвектор, его можно изобразить на диаграмме пространства-времени движущейся частицы в виде «стрелки», касательной к пути. У этой стрелки временная компонента дает энергию, а пространственные - тривектор импульса; сама стрелка «реальнее», чем один только импульс или одна лишь энергия: ведь и импульс и энергия зависят от нашей точки зрения.

Алгебра четырехвекторов

Четырехимпульс обозначают р_ , где  заменяет собой четыре направления х, у, z, сt. Его компоненты: р_t - энергия, р_х - импульс в направлении х, р_у - импульс в направлении у, р_z - импульс в направлении z. Складывая четырехвекторы, складывают их соответствующие компоненты.

Если четырехвекторы связаны каким-то уравнением, то это значит, что уравнение выполняется для любой компоненты. Например, если закон сохранения тривектора импульса соблюдается в столкновении частиц, т.е. сумма импульсов множества взаимодействующих или сталкивающихся частиц постоянна, то это означает, что сумма всех компонент импульсов постоянна и в направлении х, и в направлении у, и в направлении z.

Сам по себе такой закон в теории относительности невозможен: он не полон; это все равно, что говорить только о двух компонентах тривектора. Неполон он потому, что при повороте осей разные компоненты смешиваются, значит, в закон сохранения должны войти все три компоненты. Таким образом, в теории относительности нужно дополнить закон сохранения импульса, включив в него сохранение временной компоненты. Абсолютно необходимо. чтобы сохранение первых трех компонент сопровождалось сохранением четвертой. Иначе не получится релятивистской инвариантности. Четвертое уравнение - это сохранение энергии; оно должно сопровождать сохранение импульса для того, чтобы четырехвекторные соотношения в геометрии пространства-времени были справедливы.

Пользуясь выражением для квадрата вектора, легко изобрести скалярное произведение двух четырехвекторов:

а_  b_ = a_tb_t  a_xb_x  a_yb_y  a_zb_z

Это выражение не меняется при преобразовании системы координат.