Релятивистская энергия

Найдем релятивистское выражение для энергии. Будем действовать по аналогии с нерелятивистским случаем:

Интегрирование дает:

Из начального условия (Т = 0 при v = 0) получаем:

Где mc² - полная энергия тела.

Таким образом, разница полной энергии тела и энергии покоя равна кинетической энергии тела.

Предположим, что наши два тела с равными массами (те которые столкнулись) можно «видеть» даже тогда, когда они оказываются внутри тела М. Масса тела М, как мы обнаружили, равна не 2m₀, а равна 2m_w. Значит, избыток массы составного тела равен привнесенной кинетической энергии. Это означает, что у энергии есть инерция. Т.е. энергия эквивалентна массе. На самом деле такое рассуждение является совершенно общим; в появлении избыточной массы участвуют все виды энергии, например, потенциальная энергия взаимодействия частиц.

Теперь обратимся к вопросу: нужно ли добавлять к кинетической энергии m₀c² и говорить с этих пор, что полная энергия объекта равна mc²?

Если бы нам видны были составные части с массой покоя m₀ внутри объекта М, то можно было бы говорить, что часть массы М есть механическая масса покоя составных частей, а другая часть - их кинетическая энергия, третья - потенциальная и т.д. Но никакими способами нельзя разглядеть внутри М какие-то составные части. А потому возникает новая идея: нет нужды знать, как тела устроены изнутри; нельзя и не нужно разбираться в том, какую часть энергии внутри частицы можно считать энергией покоя тех частей, на которые она распадается. Неудобно, а порой и невозможно разбивать полную энергию mс² тела на энергию покоя внутренних частей, их кинетическую и потенциальную энергию; вместо этого мы просто говорим о полной энергии частицы. Мы «сдвигаем начало отсчета» энергии, добавляя ко всему константу m₀с², и говорим, что полная энергия частицы равна ее массе движения, умноженной на с².

Легко обнаружить, что скорость v, импульс р и полная энергия Е довольно просто связаны между собой. Исходные соотношения:

Важными для практики оказываются два выражения:

Пространство-время

Рассмотрим преобразования Лоренца:

Сравним эти уравнения с законами преобразования при повороте системы координат:

Замечаем в последних уравнениях смесь координат, а в преобразованиях Лоренца смесь координат и времени. Значит, пространство и время являются частями единого целого. Однако, время качественно отличается от пространства. Это проявляется в том, что воображаемое четырехмерное пространство (три координаты и время) отличается по свойствам от обычного трехмерного пространства.

Рассмотрим воображаемое четырехмерное пространство (пространство-время). По трем осям откладываются пространственные координаты х, у, z, а по четвертой оси сt (чтобы совпадала размерность). Какое-то событие, характеризуемое местом и временем, соответствует в этой системе координат точке, называемой мировой. Всякой частице в таком пространстве соответствует мировая линия (рисунок).

Пространственно-временные интервалы

При обычных вращениях системы координат инвариантом является квадрат расстояния между точками. Если одну точку для простоты поместить в начало координат, то квадрат расстояния между началом координат и точкой (х, у, z): х²+у²+z², не меняется при поворотах.

Не трудно показать, что в случае пространства-времени есть комбинация квадратов координат, которая инвариантна по отношению ко всем инерциальным системам отсчета:

Поэтому эта величина, подобно расстоянию, носит название интервала между двумя пространственно-временными точками, одна из которых в этом случае совпадает с началом координат (точнее говоря, это квадрат интервала).

Если два события произошли в какой-то системе координат в одно и то же время, но в разных точках пространства, то, поместив начало координат в точку, изображающую одно из событий, мы получим, t = 0, а, например, х  0. Значит, квадрат интервала получится отрицательным, а сам интервал - мнимым. Интервалы бывают и действительные, и мнимые, потому что их квадраты могут быть и положительными, и отрицательными. Когда интервал мнимый, говорят, что интервал между событиями (точками) пространственно-подобный, потому что такой интервал получался бы всегда, если бы весь мир застыл на одном времени. С другой стороны, если два предмета в данной системе координат попадают в одно и то же место в разные моменты времени, тогда t  0, а х = у = z = 0 и квадрат интервала положителен; это называется времени-подобным интервалом. Далее, если провести на диаграмме пространства-времени (рисунок) две прямые под углом 45⁰ (в четырех измерениях они обратятся в «конус», называемый световым, то точки на этих прямых будут отделены от начала координат нулевым интервалом. Куда бы из начала координат ни распространялся свет, все равно x² + y²+ z² = c²t², т.е. интервал между событием прихода света в любую точку и началом координат всегда равен нулю. Это кстати говорит о инвариантности скорости света. Интервал будучи равен нулю в одной системе координат равен нулю и в любой другой системе координат, и квадрат скорости света - отношение к - опять равен с².