Релятивистская динамика

Закон для силы остается прежним:

Изменяется выражение для импульса:

В этом выражении масса тела m является переменной величиной и зависит от скорости. Такую массу называют релятивисткой массой. А массу неподвижной частицы m₀ называют массой покоя.

Все чаще используется также следующая трактовка выражения для импульса. Масса частицы остается постоянной и равной массе покоя, а изменяется ход времени в системе отсчета, связанной с движущейся частицей:

, где d - промежуток собственного времени частицы (отсчитываемого по часам, движущимся в месте с частицей), соответствующий перемещению dr.

Актуальным является вопрос - что будет, если на тело неограниченно долго действует постоянная сила с точки зрения неподвижного наблюдателя? В механике Ньютона скорость тела будет равномерно нарастать и может при этом превысить скорость света. В релятивистской механике равномерно нарастает полная величина импульса. Однако, когда скорость тела приблизится к скорости света, рост импульса происходит не за счет увеличения скорости, которая практически насыщается, а за счет безграничного увеличения массы тела (или допустимо считать, что масса тела остается постоянной, а безгранично замедляется собственное время движущегося тела).

При не слишком больших скоростях можно разложить в ряд (по формуле бинома Ньютона) выражение для релятивистской массы и ограничиться первыми двумя членами ряда:

Во втором слагаемом последнего выражения можно узнать кинетическую энергию тела, деленную на квадрат скорости света. Можно записать:

Эйнштейн осмыслил это уравнение, как выражение для энергии тела:

mc² - полная энергия тела;

m₀c² - энергия покоящегося тела;

- обычная кинетическая энергия тела.

Предположение Эйнштейна о том, что энергия тела всегда равна mc², согласуется с формулой для релятивистской массы. Действительно, из основного уравнения динамики следует, что скорость изменения энергии тела (т.е. мощность) равняется произведению силы на скорость

Отсюда:

Мы хотим решить это уравнение относительно m. Для этого помножим обе части на 2m:

Константу интегрирования С находим из начального условия:

В результате уравнение приобретает вид:

Выражаем в явном виде m:

Эта формула для релятивистской массы необходима для того, чтобы полная энергия тела была эквивалентна массе и выражалась как mc².

Вывод об эквивалентности массы и энергии прекрасно подтвердился в опытах по аннигиляции материи - превращению вещества в энергию. Электрон с позитроном могут взаимодействовать в покое, имея каждый массу покоя m₀. При сближении они исчезают, а вместо них излучаются два -луча, каждый опять с энергией m₀c². Этот опыт прямо сообщает нам о величине энергии, связанной с существованием массы покоя у частицы.

Преобразование скоростей

Главное отличие принципа относительности Эйнштейна от принципа относительности Ньютона заключается в том, что законы преобразований, связывающих координаты и время в системах, движущихся друг относительно друга, различны. Правильный закон преобразований (Лоренца) таков:

Эти уравнения отвечают сравнительно простому частному случаю, когда наблюдатели движутся друг относительно друга вдоль общей оси х. Самое общее преобразование Лоренца выглядит довольно сложно: в нем перемешаны все четыре числа.

Можно выразить координаты неподвижной системы отсчета через координаты движущейся системы:

Ясно, что, из-за относительности движения и постоянства скорости, тот, кто «движется», может, если пожелает, счесть себя неподвижным, другого - движущимся. А поскольку этот другой движется в обратную сторону, то получится то же преобразование, но с противоположным знаком у скорости.

Найдем дифференциалы координат из последних уравнений:

Разделив первые три уравнения на четвертое, получим формулы для преобразования скоростей:

Для v_z выражение такое же, как и для v_у, что ясно также из симметрии соответствующих координатных осей по отношению к скорости движения.

В частном случае только поперечного движения ( ) формула для преобразования поперечной скорости приобретает вид:

Поперечная скорость в движущейся системе отсчета неподвижному наблюдателю кажется уменьшенной.

Полученное выражение можно получить прямо из принципа относительности, если вспомнить часы со световым лучом. В таких часах вертикальная компонента скорости меньше скорости света с на множитель .

Особый интерес вызывает преобразование продольной скорости v_x.

Предположим, что наша скорость внутри космического корабля равна половине скорости света и направлена в сторону движения корабля ( ), который движется с такой же скоростью ( ). Согласно Ньютону, неподвижному наблюдателю должно казаться, что наша скорость v_x равна сумме скоростей корабля и нашей скорости относительно корабля, т.е. равна скорости света. Теория относительности дает:

Если внутри корабля движется свет, то его скорость для внешнего наблюдателя равна

, независимо от скорости u движения корабля.

Собственно факт инвариантности скорости света является основным положением в фундаменте теории относительности.