8 Среднее значение

Знание вероятностей отдельных значений дискретной случайной величины или плотности вероятности для непрерывной случайной величины позволяет находить ее среднее значение, или, как говорят иначе, математическое ожидание. Общее правило получим, рассматривая следующий конкретный пример. Пусть в сосуде V выделен объем  и интересующая нас случайная величина есть число молекул, находящихся в  в некоторый момент времени t. Предположим, что проведено большое количество опытов М, в каждом из которых регистрировалось число молекул в . Пусть m₁ раз зарегистрировано значение n₁, m₂ раз - значение n₂ и т. д., тогда среднее значение числа молекул в  найдем по формуле

Если число испытаний достаточно велико, то отношения m₁/M, m₂/M и т.д. становятся равными вероятностям соответствующих значений n, т.е.

(8.1)

где сумма берется по всем возможным значениям случайной величины n_i (n_i = 0, 1, 2, ..., N, здесь N - число молекул в сосуде).

Когда рассматривается непрерывная случайная величина z, то поскольку вероятность того, что ее значение лежит в интервале dz, есть w(z)dz, для нахождения среднего значения нужно просуммировать выражения zw(z)dz по всем интервалам dz. Это означает, что правило для определения среднего значения непрерывной случайной величины записывается в следующем виде:

(8.2)

где интегрирование (суммирование) ведется по всем возможным значениям случайной величины.

Рассмотрим, к примеру, среднее число частиц в объеме . Пусть полное число частиц в сосуде объема V равно N. Используя биномиальное распределение (5.1) в качестве вероятности w(n_i), можем записать:

Используя формулу бинома Ньютона из данного выражения можно получить

т.е. среднее число частиц в объеме  равно полному числу частиц в сосуде N, умноженному на вероятность (/V) попадания частицы в .

Вычисление среднего значения непрерывной случайной величины проведем на примере z-координаты молекулы, находящейся в прямоугольном сосуде. Как было показано ранее, плотность вероятности в этом случае равна w(z) = 1/a. Среднее значение z вычисляется по формуле (8.2):

т.е. мы получили результат, интуитивно ясный с самого начала.

В приложениях часто бывает важно знать среднее значение функции от случайной величины, например квадрата (или какой-либо другой степени) от числа частиц в объеме  или квадрата координаты молекулы z². Применяя приведенные выше рассуждения не к самой случайной величине n_i, а к некоторой ее функции (n_i), легко показать, что среднее значение следует определить формулой

(8.5)

Среднее значение функции непрерывной случайной величины вычисляется с помощью аналогичного по смыслу правила:

(8.6)

Интеграл берется по всем возможным значениям случайной величины z.

Таким образом, среднее значение (математическое ожидание) функции от случайной величины вычисляется как сумма произведений этой функции на вероятность значения ее аргумента, т.е. по формуле (8.5) для дискретной случайной величины и по формуле (8.6) для непрерывной.

Используем сформулированное правило для вычисления очень важной характеристики, называемой дисперсией. Дисперсия - это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего среднего значения, т.е.

. (8.7)

Важность этой характеристики вытекает из того, что ею определяется степень разброса случайной величины, т.е. в каком-то смысле дисперсия служит мерой случайности. Если какую-либо неслучайную величину рассматривать как случайную, принимающую с вероятностью единица одно и то же значение, то ясно, что отклонение от среднего равно для нее нулю, а, следовательно, равна нулю и дисперсия. Таким образом, дисперсия неслучайной величины равна нулю, а у случайной она тем больше, чем шире разброс ее значений.

Формулы (8.7) могут быть представлены в более удобном для расчетов виде, который ниже получен только на примере непрерывной случайной величины, так как в дискретном случае следует лишь заменить интегрирование на суммирование.

В соответствии с определением дисперсии

Поскольку есть просто число, то последний интеграл равен

Имеет место условие нормировки плотности вероятности случайной величины

Оно вытекает из того, что принятые случайной величиной значения из различных интервалов dz образуют полную группу несовместимых событий. Условие нормировки означает, что с вероятностью единица случайная величина примет какое-либо из возможных значений.

Предпоследний интеграл в выражении для дисперсии преобразуется следующим образом:

Так как первый интеграл имеет смысл среднего значения квадрата случайной величины и должен быть обозначен , то окончательный результат с учетом условия нормировки записывается в виде

Аналогичная формула имеет место и для дискретной случайной величины:

На примере дисперсии видно, что среднее значение функции от случайной величины не равно значению этой функции, когда в качестве ее аргумента берется среднее значение самой случайной величины.

Для приложений очень важны следующие свойства средних значений и дисперсии.

а) среднее значение суммы функций равно сумме их средних значений.

б) постоянный множитель можно выносить из под знака усреднения.

в) дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Приведенные свойства позволяют в целом ряде случаев упростить вычисления средних значений и дисперсии. В качестве примера рассмотрим число частиц в объеме . Если сопоставить каждой молекуле случайную величину n_A, принимающую значение 1, когда молекула находится в , и 0, когда она оказывается вне его, то число частиц в  можно рассматривать как сумму этих случайных величин для всех молекул газа. По свойству а) среднее значение числа частиц равно сумме математических ожиданий n_A. Последняя величина подсчитывается по общей формуле

Поскольку математическое ожидание для всех молекул одинаково, то их сумма вычисляется умножением полученного выражения на общее число молекул N. Таким образом,

Столь же просто вычисляется дисперсия числа частиц в . Сначала следует найти :

,

а затем дисперсию этой величины:

Дисперсия общего числа частиц в  определится с помощью свойства в). Она равна

(8.8)

Прямое вычисление этой величины оказывается значительно более громоздким.