Случайные события.

События бывают достоверные, случайные, невозможные.

Любое событие, в том числе и случайное, характеризуется набором каких-то признаков и отличается от других случайных событий значениями этих признаков. Для одних исследований нужно рассматривать большие наборы признаков, для других - маленькие. Это зависит от практических нужд исследователя.

Достоверные события происходят всегда при выполнении комплекса неких четко оговорённых условий C, невозможные существуют лишь в виде высказываний на каком-то языке.

Однако, бывают ситуации, когда из выполнения комплекса неких чётко оговоренных условий C следует не одно и то же следствие, а одно из целого набора возможных следствий. И мы не можем предсказать заранее, какое из следствий наступит. В такой ситуации говорят о случайности. Можно считать, что случайность порождается сочетанием неустойчивости и симметрии. Если приглядеться, то в любой ситуации со случайностью можно разглядеть аналогию с игральной костью: кость симметрична, а её кувыркания представляют собой неустойчивое движение. Подробнее об этом можно посмотреть у Пуанкаре[1].

Случайное событие- основное понятие теории вероятностей. Это такое событие, которое может либо произойти, либо нет. Появление случайных событий любой природы - социальных, физических, биологических, можно моделировать с помощью натурных моделей: урновых (лото), с помощью рулеток, бросания костей, монет. А также и с помощью модели типа "стрельба по мишеням".

Пример. Бросаются две игральные кости.

1. Как эту игру смоделировать урновой моделью?

Ответ: надо написать 36 записок с парами всех возможных исходов. И поместить записки в урну. Тогда вытаскивание записки будет равносильно бросанию пары костей.

2. Как эту игру смоделировать моделью типа "стрельба по мишеням"?

Ответ: надо 36 одинаковых по площади листков с записанными парами всех возможных исходов наклеить без нахлёстов на стенку. Попадание случайно выпущенной пульки в записку (ячейку мишени) тоже будет равносильно бросанию пары костей.

Примечание. Для точного моделирования с помощью "стрельбы по мишеням" нужно обеспечить равномерное рассеивание пулек по всем участкам мишени. Теоретически это возможно.

Для перехода от натурных моделей случайных событий к математическим, ученые предпочитают в качестве исходных использовать модели типа "стрельба по мишеням". Последние имеют наибольшую универсальность и наглядность. Чтобы убедиться в указанных преимуществах конкретно, нам потребуются следующие определения.

Случайное событие называется элементарным, если оно неразложимо на более простые события.

Примеры. Попадание одной пульки в единственную конкретную ячейку мишени - элементарное событие. Вытаскивание шара из урны - тоже элементарное.

Событие, которое может быть представлено множеством элементарных, называется составным, или суммой событий, но чаще всего оно называется просто событием.

Часто бывает вполне очевидно, что данное событие является элементарным, иногда же вопрос о том, считать ли данные события элементарными или нет, зависит от условий задачи.

Например, если мы вытаскиваем шары из урны парами, то элементарным событием можно считать вытаскивание пары, а если тройками - то элементарным можно считать вытаскивание тройки. Но нет и принципиального запрета на то, чтобы в этих случаях рассматривать составные события, состоящие из пар и троек элементарных событий. Считать данное событие элементарным или нет - зависит от физических запретов на происходящие в реальности действия. Поэтому для каждой задачи теории вероятностей всегда можно построить своё собственное множество элементарных событий, которое будет исчерпывать все возможные неразложимые исходы именно этой задачи - так называемое Пространство Элементарных Событий (ПЭС).

ПЭС всегда можно нарисовать в виде прямоугольника на плоскости, и этот факт делает модель типа "стрельба по мишеням" очень удобной для иллюстрации решения любой задачи теории вероятностей.

Рассмотрим понятия элементарного, составного события и понятие ПЭС на приведённом выше примере - с двумя игральными костями.

Рис 1. ПЭС а),б),в) -для двух костей, г) – для более сложных событий.

ПЭС для этой задачи изображено на рис.1-а, элементарное событие, заключающееся в выпадении двух «троек» изображено на рис1-б, составное событие, состоящее в том, что на каждой кости выпадет не менее трёх очков, изображено серой областью на рис1-в. На рис. 1г изображено ПЭС из большого числа ячеек.

Для многих задач число элементарных событий очень велико, и их удобнее изображать не ячейками, а точками. В этом случае считается, что элементарному событию соответствует попадание "исчезающе малой пульки" в конкретную точку прямоугольника, а составному событию - её попадание в некую область - подмножество ПЭС.

Когда мы от рассмотрения ячеек мишени переходим к рассмотрению точек на плоскости, мыслимые элементарные события изображаются прямоугольником U - от латинского слова Universum(лат.) - Вселенная. Все возможные "во Вселенной" события изображаются всеми возможными подмножествами точек множества U. Полагается, что множество элементарных событий в "Универсуме" бесконечно, так же, как и множество всех возможных событий.

Примечание. Утверждение «ПЭС всегда можно нарисовать в виде прямоугольника на плоскости» требует доказательства. Но доказательство это очень простое. Допустим, мы имеем многомерное пространство признаков, размерность которого больше двух. Это означает, что мы имеем п-мерный параллелепипед. Распилим этот параллелепипед на элементарные п-мерные кубики. Этими элементарными кубиками можно выстелить некую часть плоскости слоем толщиной в один кубик. Так мы и получим ПЭС в виде прямоугольника.

Тот факт, что некоторые близкие в пространстве признаков образы событий на плоскости могут стать далёкими, не должен никого смущать. Для попадания при случайной стрельбе не важно, имеем ли мы одну мишень площади S, или мы имеем несколько мишеней такой же площади. Вероятность попадания будет та же самая.

К тому же, для большей наглядности мозаику из элементарных кубиков всегда можно «пересобрать» таким образом, чтобы интересующее нас конкретное событие было бы представлено в ПЭС компактным пятном.

После того, как мы разобрались с отображением событий с помощью ПЭС, следует разобраться, как отображаются логические операции над событиями. Для этого рассмотрим рис.2.

Рис. 2

На рис 2-а случайное событие А состоит из совокупности всех элементарных, заключенных внутри области А. Часть множества U, лежащая вне А, называется отрицанием А, разностью А и U, или дополнением А до U: попадание в неё означает всё, что угодно, но только не наступление события А. Обозначается этот факт черточкой над буквой: .

=U – A.

Рис 2-б иллюстрирует понятие пересечения (произведения) событий:

Так называется событие, заключающееся в совместном наступлении и А, и В. На рисунке этому соответствует пересечение областей. Чтобы события А и В наступили совместно, надо, чтобы "пулька" попала именно в пересечение.

Рис 2-в иллюстрирует понятие объединения (суммы) событий: так называется событие, состоящее в наступлении А или В. На рисунке этому соответствует объединение указанных областей. Можно говорить ещё и по-другому: на рис 2-б новое событие образуется с помощью высказывания, содержащего логическое "И" (конъюнкцию), а на рис 2-в с помощью высказывания, содержащего логическое "ИЛИ" (дизъюнкцию).

Значит, произвольное событие, имеющееся "во Вселенной", можно трактовать двояко:

с одной стороны, как объединение некоего количества элементарных, а с другой - как результат неких логических операций - умозаключений. Таким образом, получается, что использование модели случайных событий типа "стрельба по мишеням" позволяет применять алгебру множеств и алгебру логики для анализа задач теории вероятностей. А это, в свою очередь, позволяет формализовать решение задач, то есть, решая типовые задачи, автоматически учитывать все детали. Формализация позволяет минимизировать познавательное усилие и при этом меньше ошибаться. Вот почему математики интенсивно используют понятие пространства элементарных событий.