2.3. Параметры функции распределения [2, с. 18 - 29] (к заданию № 2 самостоятельной работы)

На практике исследователь всегда располагает лишь ограниченным числом значений случайной величины, представляющим собой некоторую выборку из генеральной совокупности, под которой понимают все допустимые значения случайной величины.

Выборка называется репрезентативной (иначе - представительной), если она дает достаточное представление об особенностях генеральной совокупности. Условием ее получения считается случайный отбор (иначе – рандомизация, случайное перемешивание), осуществляемый обычно с помощью таблиц случайных чисел (см. табл. П2.2 в приложении 2).

О сновными параметрами функции распределения генеральной совокупности значений некоей случайной величины X являются математическое ожидание а и генеральное среднеквадратическое отклонение  (иначе – генеральный стандарт). Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания называется генеральной дисперсией и обозначается через ². Оценками этих параметров, вычисленными по результатам испытаний выборки, являются соответственно среднее арифметическое :

(2.24)

выборочная дисперсия s²: (2.25)

и выборочное среднеквадратическое отклонение s (иначе – выборочный стандарт):

(2.26)

к оторые при увеличении объема выборки n стремятся к истинным значениям генеральных параметров. В практических вычислениях для выборочной дисперсии более удобна следующая формула:

(2.27)

Ее преимущество заключается в том, что в ней нет операций вычитания близких чисел, как в формуле (2.25), что приводит к потере точности.

Д ругой характеристикой центра распределения, менее точной, однако, чем среднее арифметическое, является выборочная медиана – центральный член вариационного ряда (ряд значений x_i, расположенных в возрастающем порядке). Выборочная медиана при нечетном объеме выборки n = 2m – 1 равна среднему члену вариационного ряда: (2.28)

при четном объеме выборки n = 2m:

(2.29)

Другими оценками рассеяния (разброса) значений относительно центра распределения, помимо s и s², являются размах R: R = x_max - x_min (2.30)

и выборочный коэффициент вариации , являющийся относительной характеристикой рассеяния:

(2.31)

2.4. Доверительные интервалы и доверительная вероятность [2, с. 29 - 35] (к заданию № 3 самостоятельной работы)

Выборочные значения числовых характеристик являются надежными количественными оценками значений генеральных характеристик лишь при большом объеме выборки. В связи с этим при ограниченных объемах испытаний необходимо указывать степень точности и надежности оценок генеральных характеристик.

П редставление об уровне точности и надежности оценок дают понятия доверительного интервала и доверительной вероятности. Под доверительным интервалом понимают интервал, который с заданной вероятностью накроет истинное значение оцениваемого параметра распределения. Смысл доверительного интервала x_1- =  _x для математического ожидания (иначе - генерального среднего) а случайной величины X состоит в том, что для любой малой вероятности  (уровень значимости) можно указать такое значение , при котором:

( 2.32)

г де - выборочное среднее, являющееся оценкой а.

Е сли многократно повторять выборки и каждый раз находить доверительные интервалы, то в Р = (1 - )100% случаев доверительные интервалы накроют истинное значение интересующего нас параметра. Вероятность Р = 1 - , с которой при многократном повторении опыта доверительный интервал накроет истинное значение параметра, называют доверительной вероятностью (реже – статистической надежностью). При определении доверительных интервалов уровни доверительной вероятности обычно принимают равными 0,90 или 0,95, реже 0,99, что соответствуют уровням значимости  = 0,10 или 0,05, реже 0,01. Соответствующие границы доверительного интервала ( и ) называют доверительными границами. Они обычно симметричны относительно выборочного среднего.

П ри решении практических задач, связанных со статистическим анализом физико-механических свойств конструкционных материалов или их соединений, как правило, значение генерального среднего квадратического отклонения  неизвестно. Поэтому для построения доверительного интервала для математического ожидания (иначе - генерального среднего) а используют выборочное среднее квадратическое отклонение s. В этом случае нормированная случайная величина t (аналог z в выражении (2.14)):

(2.33)

имеет распределение, отличное от нормального.

Это распределение, зависящее только от числа степеней свободы k, называют распределением Стьюдента или t-распределением и используют для построения доверительного интервала математического ожидания при небольших объемах выборок. (В общем случае число степеней свободы k определяется разностью между объемом выборки n и числом параметров, оцениваемых по выборке; в данном случае k = n – 1). График плотности вероятности t-распределения так же, как и у нормального распределения, симметричен относительно оси ординат, имеет колоколообразный вид и при большом числе степеней свободы сходится к нормальному. Чем меньше k, тем больше расхождение между ними.

О бычно на практике фиксируют на определенном уровне значение уровня значимости  (0,10, 0,05 или 0,01) и исходя из этого определяют доверительный интервал полученных результатов:

(2.34)

где t_,k – квантиль статистики t уровня значимости  при числе степеней свободы k = n – 1 (иначе - критерий Стьюдента), табличные значения которого приведены в табл. П2.3 приложения 2.

С оответственно половина величины доверительного интервала _x составит:

(2.35)

Из выражения (2.34) видно, что величина доверительного интервала зависит от доверительной вероятности Р = 1 - , с которой гарантируется нахождение параметра а внутри доверительного интервала: чем она больше (см. табл. П2.3), тем больше и доверительный интервал (то есть чем с большей надежностью хотим гарантировать полученный результат, тем в большем интервале значений он должен находиться). Увеличение числа опытов n проявляется в уменьшении доверительного интервала при постоянной доверительной вероятности или в повышении доверительной вероятности при сохранении доверительного интервала.