2.2. Нормальный закон распределения (закон Гаусса) [2, с. 8 - 11] (к заданию № 4 курсовой работы)

Всякое соотношение, выраженное в графической, табличной или в математической форме и устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения.

Распределение непрерывной случайной величины невозможно задавать при помощи вероятностей отдельных значений: число таких значений так велико, что вероятность принять какое-либо из них равна нулю, то есть событие может произойти, а вероятность его равна нулю. Для непрерывных случайных величин изучается вероятность того, что в результате опыта значение случайной величины попадет в некоторую заранее намеченную совокупность чисел. При этом удобно пользоваться вероятностью события X  x_i, где x_i – произвольное действительное число. Эта вероятность является функцией от x:

F (x) = P (X  x_i) (2.5)

и называется функцией распределения случайной величины (рис. 2.1), то есть функцией, определяющей для всех действительных значений x вероятность того, что случайная величина X принимает значения не больше, чем x_i.

В виде функции распределения можно задать распределение как непрерывной (рис. 2.1, а), так и дискретной случайной величины (рис. 2.1, б). Как видно из определения, F(x) есть неубывающая функция x: если x₁  x₂, то F(x₁)  F(x₂) (рис. 2.1). Ордината этой кривой, соответствующая точке x₁, представляет собой вероятность того, что значение случайной величины X при измерении окажется меньше x₁. Разность двух ординат, соответствующих точкам x₁и x₂, дает вероятность того, что значения случайной величины будут находиться в интервале между x₁ и x₂:

(2.6)

Значения функции распределения при предельных значениях аргумента соответственно равны 0 и 1: F (-) = 0; F (+) = 1. (2.7)

Функция распределения дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений (рис. 2.1, б).

Рис. 2.1. Функции распределения непрерывной (а) и дискретной (б) случайных величин, плотность распределения непрерывной случайной величины (в)

Д ля непрерывной случайной величины наиболее часто употребляется производная функции распределения – плотность распределения случайной величины X. Если F(x) непрерывна и дифференцируема, то:

(2.8)

П лотность распределения также является неотрицательной функцией (рис. 2.1, в). Площадь, ограниченная осью x, прямыми x = x₁ и x = x₂ и кривой плотности распределения, равна вероятности того, что случайная величина примет значения из интервала x₁x₂:

(2.9)

в частности:

(2.10)

О тсюда вытекает важное свойство плотности распределения:

(2.11)

так как попадание случайной величины в интервал   X  + есть достоверное событие.

С лучайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения в диапазоне -  x  + имеет вид:

(2.12)

а сама функция распределения: (2.13)

где а и  – математическое ожидание и генеральное среднее квадратическое отклонение случайной величины X (генеральные параметры распределения).

На практике множество событий происходит случайно вследствие воздействия на них большого числа независимых (или слабо зависимых) возмущений. У таких явлений закон распределения близок к нормальному. Поэтому нормальное распределение широко служит для обработки результатов измерений. Графическое отображение плотности нормального распределения (2.12) называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

В большинстве случаев в расчетах используют так называемую нормированную случайную величину z:

(2.14)

Н ормальное распределение нормированной случайной величины называется стандартным. Соответствующий вид примут функция:

(2.15)

и плотность стандартного распределения: (2.16)

Функция Ф(z) = F₀(z) – 0,5 (2.17)

называется функцией Лапласа: (2.18)

таблицы значений которой приведены в различных справочниках, например, в [1, с. 305; 2, с. 205], а также в табл. П2.1 приложения 2 к «Методическим указаниям к курсовой работе».

Функция Лапласа – нечетная функция, то есть Ф (-z) = -Ф (z) , (2.19)

поэтому таблицы значений Ф(z) составлены лишь для z > 0.

Для нормированной случайной величины с учетом (17) справедливо:

(2.20)

В общем случае:

(2.21)

Ф ункция Лапласа позволяет отвечать на вопросы, например, о вероятности событий, при которых значения x некоторой случайной величины X не будут отклоняться от математического ожидания а на известные значения абсолютных отклонений x = x - а при известном среднеквадратическом отклонении (иначе – стандарте). Так, например, пользуясь выражением (2.21) и данными, приведенными в табл. П2.1, можно определить, что вероятность попадания нормально распределенной величины в интервал а (иначе - x = ) составляет

С оответственно при x =2:

и при x =3:

Таким образом, отклонения больше, чем утроенный стандарт (среднеквадратическое отклонение) практически невозможны.

Значение нормированной случайной величины z, соответствующее уровню вероятности Р, называется квантилью и обозначается z_p.

Подсчет квантилей для вероятностей Р, больших 0,5, производится на основании табл. П2.1 приложения 1 и с учетом выражения:

Р (X  x_р) _{Р > 0,5} = Ф (z_р) + 0,5 . (2.22)

Так, для вероятности Р (X  x_р) = 0,9 из (1.22) вытекает, что Ф (z_р) = 0,9 - 0,5 = 0,4 и из табл. П2.1 приложения 2 к «Методическим указаниям» следует, что z_р  1,28.

Подсчет квантилей для вероятностей Р, меньших 0,5, производится с учетом выражения

z_р + z_{1 - р} = 0 . (2.23)

Так, например, для вероятности Р = 0,1 квантиль z_0,1 = - z_0,9  - 1,28.

Значения наиболее часто используемых квантилей нормированного нормального распределения приведены в табл. П2.7 приложения 2 к «Методическим указаниям».