§3.6 Изменяющиеся ренты.

В §3.3 и §3.4 мы рассматривали ренты, для которых величина каждой выплаты постоянна. Для рент, когда выплаты неравны, просто найти текущую (или накопленную) стоимости. Например, текущая стоимость такой ренты всегда может быть оценена как

,

где я выплата размером делается в момент . В частном случае, когда рента известна как возрастающая рента, а её текущая стоимость обозначается через . Таким образом,

. (1)

Следовательно

.

Вычитая, получим

или

(2)

или

. (3)

{ Это уравнение – просто уравнение для сделки, в которой инвестор одалживает 1 в начале каждого года лет…???}

Две стороны этого уравнения представляют стоимости выплат, сделанных одалживающим и заёмщиком соответственно.

Текущая стоимость любой ренты, выплачиваемой за единиц времени, для которой суммы выплат формируются в арифметической прогрессии, может быть выражена в терминах и . Если 1-я выплата такой ренты составляет , 2-я - , а я выплата - , то текущая стоимость ренты

.

Обозначение используется для обозначения текущей стоимости возрастающей ренты, выплачиваемой в единиц времени, я выплата (размером ) делается в момент . Таким образом

(4)

. (5)

Для возрастающей ренты, которая выплачивается непрерывно, важно различать ренту, которая имеет постоянную ставку выплаты за й период, и ренту, которая имеет ставку выплаты в момент . {???} Если рента выплачивается за единиц времени, то её текущая стоимость обозначается и соответственно. Ясно, что

.

Используя интегрирование по частям:

(6)

. (7)

Соответственно текущим стоимостям и накопления обозначаются

. (8)

Текущая стоимость отложенной возрастающей ренты

Пример 3.6.1: Рента выплачивается ежегодно в течение 20 лет. Первая выплата составляет £8000, а величина каждой последующей уменьшается на £300 каждый год. Найти текущую стоимость ренты, если ставка процента 5%.

Решение: Пусть текущая стоимость составляет £ . Тогда

или

.

Вычитая, получим

.

Итого

§3.7 Общая схема заёма.

Предположим, что в момент 0 инвестор даёт сумму для последующих выплат. я выплата размером осуществляется в момент . Ставка процента составляет для го года.

Сумма займа – текущая стоимость на установленном процентном базисе выплат. Таким образом

(1)

Инвестор может рассматривать часть каждой выплаты как процент по неуплаченному займу, а баланс каждой выплаты - как капитальное возмещение долга, который используется для уменьшения суммы невыплаченного займа. Если любая выплата недостаточна, чтобы покрыть процент по неоплаченному займу, то shortfall in interest добавляется к сумме неуплаченного займа. В этой ситуации инвестор (пропуск)???

Пусть и для пусть - величина займа, которую осталось выплатить непосредственно после даты . Заём, выплаченный в момент - это сумма, для которой затем делается выплата , исключая процент, то есть . Также, неуплаченный заём непосредственно после й выплаты равен займу неуплаченному непосредственно после предыдущих выплат минус сумма займа, выплаченная в момент . Следовательно

. (2)

Таким образом

. (3)

Следовательно

и так далее.

(4)

Альтернативное выражение для получается путём умножения (3.7.1) на . Это даёт:

Комбинируя это уравнение с уравнением (3.7.4), получаем:

. (5)

Таким образом, - стоимость в момент неуплаченных выплат.

Если , то вычитанием получаем

(6)

Пусть - сумма займа, выплаченного в момент , тогда

(7)