§3.2 Уравнение стоимости и доход от сделки.

Предположим, что на капитал , вложенный в момент 0, инвестор будет получать выплат, каждая на сумму , в моменты в дополнение к выплате в момент своего начального вложения. Таким образом, вклад генерирует доход в конце каждого периода. Интуитивно мы можем говорить о как о доходе за единицу времени на вклад (инвестицию).

Мы желаем определить принцип дохода для широкого класса инвестиций. Для того, чтобы это сделать требуется определить уравнение стоимости связанное с любой сделкой.

Рассмотрим сделку, которая обеспечивает, что на вложения сумм в моменты инвестор будет получать выплаты в те же моменты соответственно(в большинстве случаев только одно из или будет не нуль).

Какая интенсивность ил ставка процента делает ряд вкладов, имеющих ту же величину(стоимость) как и ряд выплат. Для интенсивности процента два ряда имеют равную величину тогда и только тогда, когда

(3.2.1)

или

, (3.2.2)

где - это сумма чистого потока наличности в момент (отрицательный поток денег соответствует вкладу инвестора, а положительный – выплате ему).

Уравнение (3.2.2) называется уравнением стоимости для интенсивности процента , следующей из сделки. Если положить , то уравнение может быть переписано в виде:

. (3.2.3)

Это уравнение стоимости для ставки процента или уравнение дохода. В других терминах уравнение (3.2.3) имеет вид:

( может быть бесконечным)

Если и ставки платежей и выплат в момент , то - это чистая ставка потока денег в момент . Уравнение стоимости соответствует уравнению (3.2.2)

(3.2.4)

Когда имеются как непрерывные, так и дискретные потоки денег, то уравнение стоимости

(3.2.5)

и эквивалентное уравнение дохода

. (3.2.6)

Для любой сделки уравнение (3.2.5) может не иметь корней, единственный корень или несколько корней(рассматриваем только действительные корни). Если существует единственный корень, то его называют и он известен как интенсивность процента, вытекающая из сделки, и соответствующая ставка процента называется доходом за единицу времени(альтернативные термины для дохода: внутренняя ставка на капитал и денежно-взвешенная ставка на капитал). Таким образом, доход определяется ТТ уравнение (3.2.6) имеет точно один корень больший чем , и когда такой корень существует – это доход. Существует важный класс сделок, когда доход всегда существует.

Теорема 3.2.1:

Для любой сделки, в которой все отрицательные чистые потоки денег (наличности) предшествуют всем положительным чистым потокам денег (или наоборот) доход определён.

Доказательство:

Для каждой сделки мы можем предположить без потери общности, что все отрицательные чистые потоки предшествуют всем положительным потокам. Существует индекс такой, что уравнение стоимости (3.2.2) может быть переписано в виде

, (7)

где , . (8)

Умножая (3.2.7) на , получаем

,

где

,

Так как , условия (3.2.8) ведут к тому, что - возрастающая функция , а - строго убывающая. Следовательно, - строго возрастающая функция. Следовательно,

,

из чего следует, что уравнение стоимости имеет единственный корень.

Это завершает доказательство теоремы для дискретного случая. Доказательство

для непрерывного случая аналогично.

Хотя доход определяется, когда уравнение (3.2.3) единственный корень , иногда интересно рассмотреть сделки в которых уравнение дохода имеет единственный положительный корень. Существует один легко описываемый класс сделок, когда уравнение дохода имеет точно один положительный корень.

Теорема 3.2.2:

Предположим, что и рассмотрим сделку для которой инвесторский чистый поток денег в момент составляет (некоторые из множества могут быть отрицательными, некоторые - положительными). Пусть для

,

где обозначает аккумулируемую общую сумму, получаемую инвестором после потока денег в момент . Предполагаем, что и ненулевые и что когда все нулевые величины исключаются , то оставшаяся последовательность содержит ровно одно изменение знака. В таком случае уравнение дохода имеет точно один положительный корень.

Примером этой ситуации может служить сделка, в которой все издержки инвестора предшествуют всем его прибылям, и общая сумма полученного превосходит общие издержки. Более общий пример даётся сделкой, которая обеспечивает инвестору получение 1, 8 и 4 в моменты 1, 3 и 4 соответственно в обмен на расходы 5 и 3 в моменты 0 и 2 соответственно. Тогда чистый поток денег задаётся последовательностью

и аккумулирующий общий чистый поток денег последовательностью

.

Так как эта последовательность содержит только одну перемену знака, то уравнение дохода имеет только один положительный корень равный .

Рассмотрим простую сделку, описанную в §3.1. В ней инвестор делает единственный платёж в момент для последующего получения выплат. Замеченное выше влечёт то, что доход определён и уравнение имеет единственный корень, где

.

Читатель должен проверить, что . Доход, таким образом, равен . Анализ уравнения стоимости для данной сделки иногда может быть сложным. Однако, когда уравнение такое, что - монотонная функция, его анализ особенно прост. Уравнение имеет корень, только тогда мы можем найти и с и противоположных знаков. В этом случае корень – единственный и лежит между и .

Заметим, что после умножения на уравнение (3.2.3) принимает эквивалентную форму

. (3.2.9)

Эта более общая форма может быть названа уравнением стоимости в момент .

Пример 3.2.1: На немедленный платёж £500 и £200 через 2 года инвестор получит £1000 через 5 лет. Найти доход на сделку.

Решение: Пусть 1 год будет единицей времени. Уравнение стоимости в момент

Это уравнение имеет единственный корень так как , а , следовательно, доход будет между и ежегодно. Первая аппроксимация для дохода получается линейной интерполяцией и составляет

или ежегодно.

Пример 3.2.2: На заём £100 заёмщик согласен выплатить £110 через 7 месяцев. Найти:

а) ежегодную ставку процента;

б) ежегодную ставку дисконта;

в) ежегодную интенсивность процента на сделку.

Сразу после получения заёма заёмщик должен выплатить £50 на установленную дату и второй платеж через 6 месяцев после этого.

Решение:

а) ставка процента задаётся уравнением

б)

в)