Пример 2.7.1: Пусть время измеряется в годах и

.

Найти , а также текущую стоимость непрерывного потока выплат по ставке (инвестиции?) 1 за 15 лет, начиная с 0.

Решение: Из (2.5.3) получаем:

,

то есть .

Искомая текущая стоимость указанного потока выплат за 15 лет из (2.7.5) составит:

§2.8 Оцениваемые(valuing) потоки наличности.

Рассмотрим моменты времени и , где не обязательно больше . Стоимость в момент суммы относительно времени определяется как:

а) если , то накопление от момента до момента ;

б) если , то дисконтированная стоимость в момент суммы в момент .

Из (2.5.3) и (2.5.1) следует, что

. (1)

Так как , то из (2.5.3) и (2.8.1) немедленно следует, что стоимость в момент суммы , благодаря времени , есть

. (2)

В общем случае

. (3)

Если , то есть рассматривается текущее время, то

. (4)

Суммирование для . Это обобщение, чтобы накрыть как прошлые, так и настоящие и будущие выплаты. Из (2.8.3) следует, что стоимость в любой момент потока наличности может быть получена из его стоимости в любой другой момент , используя фактор , то есть

(5)

или

. (6)

Обе части равенства (2.8.6) – это стоимости потоков наличности в текущее время (момент времени 0). В частности, выбирая как текущий время, а полагая равным , получим:

. (7)

Пример 2.8.1: Бизнесмен получил следующие суммы: $1000 01.01.86г., $2500 01.01.87г., $3000 01.07.87г. Полагая постоянную интенсивность процента 0,06 в год, найти стоимость этих выплат

а) на 01.01.84г.;

б) на 01.03.85г.

Решение: Время измеряется в годах от 01.01.84г. Стоимость обязательств на эту дату из (2.7.1) составляла

Стоимость на 01.03.85г. из (2.8.7) составляла

Пример 2.8.2: Время измеряется в годах, задаётся формулой Студли с параметрами , , .

Найти:

а) единственный платёж, который, если его инвестировать в момент 10, будет аккумулировать $30000 в момент 20;

б) накопленную сумму после 10 лет и 10 платежей, каждый по $1000 в год. Первый платёж сделан в момент 0.

Решение:

а) Это просто стоимость в момент времени 10 суммы в $30.000 в момент 20. Из (2.8.2) следует, что требуемый платёж составит

,

где (из примера 2.6.1) . Следовательно, требуемый платёж составит $10.259.

б) Имеем поток наличности с 10 равными платежами. Стоимость потока в момент 0

.

И, следовательно, стоимость в момент 10 (из (2.8.7))

.

Накопленная сумма составит $22.822.

§2.9 Процентный доход.

Рассмотрим инвестора, который не желает накапливать деньги, а желает получать доход на фиксированный капитал . Если процентная ставка за единицу времени, и если инвестор хочет получать доход в конце каждой единицы времени, то ясно, что его доход будет составлять за единицу времени, выплачиваемый до тех пор, пока не будет изъят капитал .

Предположим, что и инвестор желает вложить в момент и изъять в момент . Пусть и инвестор желает получать процент по депозиту в равных интервалах , где . Процент, выплачиваемый в момент за период , будет составлять

.

Общий процентный доход, выплаченный между и , составит

. (1)

Так как , то легко показать (при условии непрерывности ), что при ( ) общий процент, полученный между и стремиться к

. (2)

Следовательно, в пределе, ставка выплаты процентного дохода за единицу времени в момент , , равна

. (3)

Если инвестор изымет свой капитал в момент , то текущие стоимости его дохода и капитал будут (из (2.5.4) и (2.7.5))

(4)

и

(5)

соответственно. А так как

,

то получим

. (6)

В случае, когда аналогичные рассуждения дают

. (7)