Актуарная математика. Глава №2. Теория процентных ставок.

§2.1 Ставка процента.

Рассмотрим инвестиции, на которые капитал и проценты выплачиваются в конце фиксированного срока. Например, краткосрочный депозит, в котором кредитор инвестирует $1000 и получает $1035 через 6 месяцев, из них $1000 может рассматриваться как выплата капитала, а $35 – как выплата процента, т.е. награда за использования капитала в течение 6 месяцев.

Для любой задачи о сложном проценте важно определить единичный промежуток времени, например, 1 месяц, 1 год и т.п.

Рассмотрим инвестицию размером $1, вложенную на период длиной 1, начинающийся в момент , и предположим, что возвращается в момент . Назовём ставкой процента за период от до . Иногда об говорят как об эффективной процентной ставке, в отличие от номинальной и flat (ровной, не оживленной) процентных ставок. Предполагается, что процентная ставка не зависит от инвестированной суммы. На инвестицию размером в мо­мент времени t в момент времени будет возвращено . Легко ви­деть, что при вкладе размером в момент времени 0 в момент времени бу­дет получено

. (1)

Часто процентная ставка указывается в процентах. Например, соответствует эффективной процентной ставке 0,1275.

Если процентная ставка за период не зависит от времени , когда была сделана инвестиция, т.е. для любого момента . В этом случае (1) принимает вид:

. (2)

Эта формула справедлива даже для нецелых (при определённых условиях) и называется накоплением за единиц времени со сложным процентом по ставке при начальной инвестиции . Соответственно накопление с простой процентной ставкой определяется по формуле:

.

§2.2 Номинальная процентная ставка.

Рассмотрим сделку на срок длиной временных единиц, где и не обязательно целое. Определим . - это номинальная процентная ставка за единицу времени для сделки сроком , начинающейся в момент . Причём, такова, что эффективная процентная ставка за период длиной , начинающийся в , составляет . Таким образом, если сумма инвестируется в момент времени на срок , то сумма, которую инвестор получит в момент времени , по определению, составит

. (1)

Если , то номинальная ставка совпадает с эффективной на период от до

. (2)

Во многих практических ситуациях

, . (3)

Если в этом случае мы также имеем , где - положительное целое, то обычно пишут , а не , то есть, по определению

. (4)

Таким образом, инвестиция размером 1 на любой период длиной будет приносить доход

. (5)

Обратите внимание, что часто отождествляют с номинальной процентной ставкой за единицу времени, выплачиваемой - кратно, или конвертируемой - кратно.