13. Внутрішня енергія ідеального газу. Теплоємності ідеального газу.
13.1. Середня кінетична енергія молекул. Внутрішня енергія ідеального газу
Найменше число незалежних величин, які визначають положення системи у просторі, називається числом ступенів вільності системи. Наприклад, матеріальна точка має три ступені вільності, бо досить трьох координат x, y, z, щоб задати її положення. Система з N незалежних (або нежорстко зв’язаних) матеріальних точок має 3N ступенів вільності. Система з двох жорстко зв’язаних точок має п’ять ступенів вільності. Всякий жорсткий зв’язок, що закріплює відстань між двома точками, зменшує число ступенів вільності на одиницю. Тому система з трьох і більше жорстко зв’язаних матеріальних точок з нелінійним розміщенням має шість ступенів вільності. Три з них відповідають поступальному руху центра мас і ще три – обертальному руху системи навколо трьох взаємно перпендикулярних осей.
Молекулу в першому наближенні можна розглядати як систему з жорстко зв’язаних матеріальних точок-атомів. При цьому число ступенів вільності для одноатомних молекул і=3, для двохатомних – і=5, для трьох і більше атомних – і=6.
У класичній статистичній фізиці Больцманом доведена теорема, що називається законом рівномірного розподілу кінетичної енергії молекул за ступенями вільності. Формулювання цього закону: на кожний ступінь вільності молекули в середньому припадає однакова кінетична енергія, рівна 1/2 kТ. Це означає, що молекула, яка характеризується числом ступенів вільності “і”, має середню кінетичну енергію
.
(2.31)
Наприклад, для одноатомної молекули ця величина рівна 3/2kT, що співпадає з середньою кінетичною енергією поступального руху (див. формулу (2.14)).
Займемося
тепер розрахунком внутрішньої енергії
ідеального газу. Молекули ідеального
газу не взаємодіють між собою, тому для
такої системи внутрішня енергія співпадає
з сумарною кінетичною енергією молекул.
Внутрішня енергія одного моля ідеального
газу
.
Якщо врахувати тепер вираз (2.31) та
означення сталої Больцмана (2.5), то
одержуємо
.
Внутрішня енергія довільної кількості
ідеального газу
.
Остаточно
.
(2.32)
13.2. Теплоємність газів. Недоліки класичної теорії теплоємностей
Теплоємність тіла – це фізична величина, що чисельно рівна кількості теплоти, яку необхідно надати тілу, щоб підвищити його температуру на один кельвін.
Питома теплоємність – це теплоємність одиниці маси речовини, тобто вона рівна кількості теплоти, яку необхідно надати одиниці маси речовини, щоб підвищити її температуру на один кельвін:
,
(2.33)
– елементарна
кількість теплоти, що надається речовині,
m – маса речовини, dT – елементарний
приріст температури.
.
Молярна теплоємність – теплоємність одного моля речовини, тобто кількість теплоти необхідна для нагрівання одного моля речовини на один кельвін:
,
(2.34)
– кількість
речовини.
.
Завваживши, що
(
– молярна маса), з порівняння формул
(2.33) і (2.34) маємо зв’язок молярної
теплоємності з питомою
.
(2.35)
Теплоємність
(питома чи молярна) є характеристикою
речовини. Однак, виявляється, вона
залежить ще й від процесу, тобто від
умов нагрівання тіла. Покажемо це.
Розрахуємо молярну теплоємність
ідеального газу при сталому об’ємі
.
З цією метою запишемо математичний
вираз 1-го начала термодинаміки для
ізохорного процесу
.
Приріст внутрішньої енергії знайдемо,
продиференціювавши співвідношення
(2.32):
.
Тепер формула (2.34) дає
.
Остаточно
.
(2.36)
Зазначимо попутно, що тепер вираз (2.32) для внутрішньої енергії ідеального газу можна записати у формі
.
(2.37)
У випадку ізобаричного процесу вираз 1-го начала термодинаміки такий:
.
Елементарну роботу розрахуємо, виходячи з формули (2.25) і продиференціювавши рівняння Менделєєва-Клапейрона (2.3) за умови p=const:
.
Тепер на основі означення (2.34) маємо для молярної теплоємності ідеального газу при сталому тиску
.
Взявши до уваги формулу (2.36), одержуємо
.
(2.38)
Співвідношення (2.38) відоме як рівняння Майєра; воно дає зв’язок між молярними теплоємностями ідеального газу при сталому тиску та при сталому об’ємі.
З
виразів (2.36) та (2.38) випливає, що: 1)
;
2)
та
не залежать від температури. Такі самі
висновки робимо і відносно питомих
теплоємностей (з огляду на зв’язок
(2.35).
Е
Рис.2.8
ксперименти показали, що результати розрахунків близькі до істинних лише для одно- і двохатомних газів і то лише в невеликих температурних інтервалах (в області кімнатних температур). На рис.2.8 подано графічно залежність
від Т для водню (число ступенів
вільності і=5), одержану дослідним
шляхом. Графік свідчить, що класична
теорія теплоємностей справджується
лише в окремих інтервалах середніх
температур. В деякій області низьких
температур молекули водню ведуть себе
як системи, які мають лише ступені
вільності поступального руху (рівень
на рис.2.8). З подальшим зниженням
температури поступальний рух молекул
стихає (“вимерзає”) і
при
.
При високих температурах проявляються
ступені вільності, пов’язані з коливанням
атомів всередині молекул (подана вище
теорія цього не враховує). Правильне
тлумачення результатів експерименту
буде подано у квантовій теорії
теплоємностей.
..........................................................................................................................................................................