5.4. Енергія гармонічних коливань

Оскільки квазіпружна сила, що є причиною гармонічних коливань, є потенціальна, то у випадку механічних коливань коливне тіло має як кінетичну, так і потенціальну енергію. Повна енергія дорівнює їх сумі

.

З врахуванням (5.5) для матеріальної точки отримаємо кінетичну енергію

. (5.16)

Потенціальна енергія матеріальної точки, яка здійснює гармонічні коливання,

. (5.17)

Склавши (5.16) і (5.17), отримаємо повну енергію .

Отже, енергія гармонічних коливань пропорційна до квадрату амплітуди і не залежить від часу.

25Ма́ятник — система, подвешенная в поле тяжести и совершающая механические колебания. Колебания совершаются под действием силы тяжести, силы упругости и силы трения. Во многих случаях трением можно пренебречь, а от сил упругости (либо сил тяжести) абстрагироваться, заменив их связями.)

Математи́чний ма́ятник — теоретична модель маятника, в якій матеріальна точка масою m підвішена на невагомому нерозтяжному стержні довжини l і здійснює рух в вертикальній площині під впливом сил тяжіння з прискоренням вільного падіння g.

Модель нехтує розмірами тіла, деформацією підвісу та тертям в точці підвісу стержня. Звичайно розглядаються коливання маятника в одній площині. В загальному випадку, якщо відхилити маятник від положення рівноваги та штовхнути його вбік, рух маятника буде складатися з коливань в вертикальних площинах та руху в горизонтальних.

П ри малому відхилені математичний маятник здійснює гармонічні коливання. Якщо відхилення велике, то коливання маятника періодичні, але не гармонічні.

Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:

где  — амплитуда колебаний маятника,  — начальная фаза колебаний,  — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями

Фізи́чний ма́ятник — тверде тіло довільної форми, яке під дією сили тяжіння здійснює коливання навколо нерухомої горизонтальної осі, що не проходить через центр маси тіла.

Період коливань фізичного маятника визначається формулою

,

де I - момент інерції, m - маса, d - віддаль від центра маси тіла до осі, g - прискорення вільного падіння.

З ведена довжина фізичного маятника - довжина такого математичного маятника, період коливань якого збігається з періодом коливань даного фізичного маятника. Вона дорівнює

.

Механі́чні колива́ння — це фізичний процес у механіці, під час якого чергуються інтервали збільшення і зменшення фізичної величини.

Бувають прості і складні. Складні коливання- це певним чином скомбіновані прості. Вони найчастіше спостерігаються в живих організмах. Прості коливання в свою чергу поділяються на:

• а) гармонічні коливання — такі коливання, які відбуваються за законом синуса або косинуса;

• б) Реальні (згасаючі) коливання — ті коливання, що мають місце в природі, поступово згасають;

• в) вимушені коливання — відбуваються при дії на систему зовнішньої сили, яка повинна діяти ритмічно (за законом гармонічних коливань).

Згасання гармонічних коливань

В результаті дії різноманітних сил, які призводять до втрати енергії, коливання можуть згасати. В такому випадку вони описуються формулою

.

Вимушеними називаються незатухаючі коливання, що відбуваються під дією періодичної сили. Щоб в реальній коливальній системі отримати незатухаючі коливання, треба компенсувати втрати енергії. Така компенсація можлива за допомогою якого-небудь періодично діючого чинника X(t), який змінюється за гармонійним законом:

х(t)=хo cos t. (х нульове)

• Гармонічними коливаннями називаються періодичні коливання фізичної величини, які відбуваються згідно із законом

,

• де  — це фізична величина, що коливається,  — час,  — це найбільше значення, яке приймає величина під час коливань, яке називають амплітудою коливань,  — циклічна частота коливань,  — фаза коливань.

• Періодом коливань називається величина

.

Лінійна частота коливань визначається, як

.

Резона́нс — явище сильного зростання амплітуди вимушеного коливання у разі, коли частота зовнішньої сили збігається з власною частотою коливань.

Резонанс характеризують інтенсивністю, напівшириною спектральної лінії та добротністю. Здебільшого резонанс наближено описують кривою Лоренца

,

де ω — частота зовнішньої сили, ω₀ — частота власного коливання, Γ — стала затухання, яку називають також шириною лінії. Часто приводиться також γ= Γ/2 — півширина лінії.

Пружні хвилі — пружні деформації, що поширюються в твердих, рідких і газоподібних середовищах. У однорідному ізотропному пружному середовищі вони бувають двох типів: хвилі розширення, пов'язані зі зміною густини (ущільнення і розрідження), та хвилі зсуву (вихрові), пов'язані лише зі зміною форми тіла. Якщо опір зсувові незначний, наприклад, у повітрі, то з'являються пружні хвилі розширення — звукові хвилі. На межі поділу двох середовищ можуть виникати поверхневі хвилі, а в тонких циліндричних стрижнях — поздовжні та крутильні пружні хвилі.

Електро магн хвилі. Процес розповсюдження змінних магнітного і електричного полів і є електромагнітна хвиля. Електромагнітні хвилі можуть існувати і розповсюджуватися у вакуумі.

Умова виникнення електромагнітних хвиль. Для утворення інтенсивних електромагнітних хвиль необхідно створити електромагнітні коливання достатньо високої частоти. Зміни електромагнітного поля відбуваються при зміні сили струму в провіднику, а сила струму в провіднику змінюється при зміні швидкості руху електричних зарядів в ньому, тобто при русі зарядів з прискоренням. Отже, електромагнітні хвилі повинні виникати при прискореному русі електромагнітних зарядів.

Основна властивість усіх хвиль, незалежно від їх природи, полягає у тому, що у хвилі здійснюється перенесення енергії без перенесення речовини. Хвильові процеси зустрічаються майже у всіх областях фізичних явищ, тому їх вивчення має велике значення.

Рівняння плоскої біжучої хвилі, яка розповсюджується вздовж додаткового напряму осі Х:

, (1)

Д е S₀ — амплітуда (максимальне значення) змінної величини S; вираз , що знаходиться під знаком косинуса називається фазою хвилі; х — відстань від початку координат до даної точки; w — циклічна частота. Вона пов’язана з періодом Т або лінійною частотою коливання n:

.

Швидкістю хвилі и називають швидкість, з якою пе­реміщається гребінь хвилі.

Є два закони заломлення (так само, як і два закони відбивання). Закони заломлення: 1) Відношення стале для даних двох середовищ і називається відносним показником заломлення другого середовища відносно першого (наприклад, води відносно повітря): . 2) Заломлений промінь, падаючий промінь і нормаль до поверхні поділу середовищ знаходяться в одній площині. Крім відносного показника заломлення, в оптиці користуються поняттям і абсолютного показника заломлення. Абсолютний показник заломлення речовини — відношення швидкості світла у вакуумі (або в повітрі) до швидкості світла в даній речовині: , тоді . В оптиці користуються поняттям густини, яке не збігається з поняттям густини речовини в механіці ( ). Із двох середовищ оптично більш густим є те, показник заломлення якого більший. Якщо перше середовище оптично густіше за друге, то зі збільшенням кута падіння світла заломлений промінь, «опускаючись», наближується до межі поділу середовищ. При деякому значенні кута α (критичний або граничний кут ) заломлення не відбувається, промінь ковзає вздовж поверхні розподілу середовищ (промінь 3). Якщо , світловий промінь повертається в перше середовище, тобто відбувається лише відбивання світла всередину першого середовища, без виходу в друге. Значення критичного кута для різних пар середовищ різне. Оскільки критичному куту падіння відповідає прямий кут заломлення ( ), то, скориставшись формулою відносного показника заломлення, умову повного відбивання можна записати так: . Як підсумок, можна сформулювати закон повного відбивання світла: при переході світлового променя з оптично більш густого середовища в оптично менш густе на межі поділу цих середовищ може виникати повне відбивання променя за умови, що значення кута падіння перевищить деяке критичне значення, стале для даних двох середовищ. На принципі повного відбивання світла функціонують волокнисті світловоди — пристрої, що використовуються у волоконній оптиці.

,

де n₁ та n₂ — показники заломлення середовищ (n₁ > n₂). В такому випадку світловий промінь не проникає далі й повністю відбивається від границі.

Повне внутрішнє відбиття спостерігається для великих кутів падіння, які перевищують критичний кут

.