5. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях

Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях основано на использовании формулы (9), которая справедлива при достаточно малых приращениях аргумента функции . Если в этой формуле приращение представить в виде , а дифференциал в виде , то будем иметь:

,

откуда

, (12)

Формулу (12) можно использовать при нахождении приближенных значений функций.

Пример 3. Найти приближенно значение функции

для значения ее аргумента, равного 16,02.

Решение. Найдем производную данной функции:

и подставим в формулу (12):

.

Положим , а . Тогда

.

6. Понятие неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале(a,b) , если она дифференцируема на этом интервале и в каждой его точке

F(x)=f(x), (13)

Например, первообразными функции 4x³ являются функции x⁴ и x⁴+6 , так как

(x⁴)^'=4x³ и (x⁴+6)'=4x³

Заметим, что вообще, если F(x) первообразная f(x) , то F(x)+C , где C - произвольная постоянная, также является первообразной f(x) , так как

(F(x)+C)^'=F^'(x)=f(x), (14)

Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) . Он обозначается символом

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx- подынтегральным выражением.

Если F(x) - какая-нибудь первообразная функции f(x), то

(15)

где C - произвольная постоянная. Нахождение неопределенного интеграла

называется интегрированием функции f(x). Чтобы найти интеграл, надо выполнить действия, обратные дифференцированию.

Основные свойства неопределенного интеграла

1.

2.d

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

где k - постоянный множитель, отличный от нуля.

Таблица основных интегралов

1. ;

2. ,

3. ;

4. ; (a> 0, a )

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

7. Методы интегрирования

На практике при вычислении неопределенных интегралов их стараются свести к табличному виду различными методами. Рассмотрим некоторые из них.

Метод разложения (непосредственного интегрирования)

Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции с использованием свойств неопределенного интеграла в линейную комбинацию основных табличных интегралов.

Пример 4.

Метод замены переменной

Пример5 . Пусть требуется найти интеграл , где a

Введем переменную t=ax+b ; Тогда dt=adx , откуда dx= , Таким образом

Возвращаясь к переменной x , окончательно имеем

.

Пример 6. Найти . Положим t=x ; Тогда dt=2xdx , откуда xdx= ; таким образом

Метод интегрирования по частям

Пусть u(x) и υ(x)- непрерывно дифференцируемые функции на некотором промежутке. Тогда дифференциал их произведения равен

d(u υ)=udυ+υdu, (16)

Проинтегрируем (16) по x . Имеем

uυ = υ+υdu

откуда

υ=uυ- υdu, (17)

Равенство (17) называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет нахождение одного интеграла свести к нахождению более простого интеграла.

Пример 7. Найти . Положим u=arctgx. Тогда du= , υ= и по формуле интегрирования по частям получим

Пример 8. Найти ; Положим u=lnx , dυ=xdx.

Тогда du= υ= и по формуле интегрирования по частям будем иметь

.

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.