Упражнения

1. Игральная кость брошена два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 11? 7? 8?

2. В партии из 100 деталей имеется 10 бракованных. Для проверки отобрали 5 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей окажется только одна бракованная.

3. В студенческой группе (12 девушек и 8 юношей) разыгрываются 5 зарубежных путевок. Какова вероят­ность того, что путевки получат 3 девушки и 2 юноши?

4. Для включения в избирательный бюллетень нуж­но выбрать 8 из 10 кандидатов. Какова вероятность того, что в бюллетень попадет интересующий нас канди­дат, если все кандидаты имеют одинаковые шансы?

5. Из цифр 3, 5, 9 составлены всевозможные двузначные числа. Какова вероятность того, что выбранное из этой совокупности число делится на три?

§3. Операции над событиями. Свойства вероятности

В теории вероятностей изучаются методы вычисле­ния вероятностей случайных событий. Часто бывает так, что вероятность некоторого события С можно най­ти, зная вероятности других событий, связанных с со­бытием С. Для этого прежде всего используются прави­ла сложения и умножения вероятностей, о которых мы расскажем в этом и следующем параграфах.

История о находчивом майоре.

В городе Дрюкове объявлен розыск четверых особо опасных преступников, ограбивших Дрюковоуниверсал-банк. Чтобы предотвратить утечку информации при передаче в Центр сообщений о ходе розыска, майор Зимин придумал такой способ. Он зашифровал первыми буква­ми алфавита следующие события:

событие Р — обнаружен преступник Рыков;

событие У — обнаружен преступник Угрюмов;

событие Ф — обнаружен преступник Фомкин;

событие Т — обнаружен преступник Трошкин.

С помощью этих обозначений майор Зимин мог передать любую информацию. Например, сообщение Р + У означало бы, что обнаружен по крайней мере один из двоих преступников, Рыков или Угрюмов; сообщение УФ — обнаружены Угрюмов и Фомкин; сообщение — Трошкин не обнаружен.

Вскоре в Центр пришли следующие сообщения: 1) У + Ф; 2) УТ; 3) . Там их без труда расшифровали. Согласно первой шифровке, обнаружен кто-то из двоих — Угрюмов или Фомкин, причем не исключено, что и оба. Второе сообщение означало, что обнаружены и Угрюмов и Трошкин. Из третьего сообщения следовало, что Фом­кин и Рыков не обнаружены. Таким образом, на первом этапе розыска обнаружили двоих преступников. Дальнейшие шифровки были такими:

4) УТ(Ф + Р); 5) УТФ ; 6) УТФР.

Первая из них означала, что обнаружены Угрюмов, Трошкин и по крайней мере один из двух других пре­ступников. Вторая шифровка: обнаружены все, кроме Рыкова. Третья: обнаружены все четверо.

Упражнения

6. Расшифруйте донесения группы захвата:

1) Т+У; 2) Т ; 3) У+Ф; 4) У ; 5) Р+Ф; 6) У(Ф + Т).

7. Зашифруйте следующие донесения: 1) взят только

один из четырех; 2) взят по крайней мере один; 3) взяли не менее двух; 4) взяли только двоих; 5) взяли только троих; 6) взяли всех четверых.

Вы уже поняли, конечно, что майор Зимин изучал теорию вероятностей. Для шифровки донесений он ис­пользовал следующие понятия этой теории.

Сумма событий.

Если в некоторой ситуации произошло по крайней мере одно из двух событий А или В, то говорят, что произо­шло событие А + В. Так вводится понятие суммы собы­тий. Например, событие Т + Р + Ф означает, что взят по меньшей мере один из трех (Трошкин, Рыков, Фомкин).

Произведение событий.

Если произошли оба события, и А и В, то говорят, что произошло событие АВ. Так вводится понятие произведения событий. Например, событие РТФ состоит в том, что взяты трое — Рыков, Трошкин и Фомкин.

Если событие А не произошло, то говорят, что произошло событие . Так вводится понятие противопо­ложного события. Например, событие означает, что не взяты оба преступника, Трошкин и Фомкин, а событие , противоположное событию Т+Ф, состоит в том, что не произошло по крайней мере одно из событий — Т или Ф.