Руководство к решению задач по алгебре
Часть V Элементы теории многочленов
Учебное пособие для вузов
Составители:
Глушакова Татьяна Николаевна,
Крыжко Игорь Борисович
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2010
Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ 30 октября 2010 г., протокол № 4
Рецензент канд. физ.-мат.наук, доцент Ю.В. Бондаренко
Учебное пособие подготовлено на кафедрах вычислительной математики и прикладных информационных технологий, программного обеспечения и администрирования информационных систем факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 1-го курса дневного и вечернего отделений факультета ПММ Воронежского государственного университета.
Для специальностей: 010501 – Прикладная математика и информатика;
010901 – Механика
1. Элементы теории многочленов
Функция вида
,
где
,
,
называется многочленом
степени
,
числа
– коэффициентами
многочлена,
– аргументом
(вещественным или комплексным в
зависимости от
).
Степень многочлена
обозначается
:
.
Многочлен, у
которого все коэффициенты равны нулю,
называется нулевым
многочленом
и обозначается
.
Два многочлена называются равными, если равны все коэффициенты при одинаковых степенях аргумента.
Пусть даны
многочлены
и
,
где
.
Суммой
многочленов
и
называется многочлен
,
где
и
.
Произведением
многочленов
и
называется многочлен
,
где
.
З а м е ч а н и е.
Степень произведения
ненулевых многочленов равна сумме
степеней этих многочленов:
.
2. Свойства операций над многочленами
Перечислим основные свойства операций над многочленами.
I. Сумма двух многочленов
1) коммутативна
(при перестановке двух слагаемых сумма
не меняется):
;
2) Ассоциативна (при перестановке трех слагаемых сумма не меняется): ;
3) существует
нулевой многочлен
такой, что
для любого многочлена
;
4) для любого
многочлена
существует многочлен
такой, что
.
II. Произведение многочленов
1) коммутативно
(при перестановке двух сомножителей
произведение не меняется):
;
2) ассоциативно
(при перестановке трех сомножителей
произведение не меняется):
;
3) Для любого многочлена существует многочлен такой, что .
III.
Для суммы и произведения многочленов
выполняется дистрибутивный закон:
.
З а м е ч а н и е.
Нулевой многочлен в дальнейшем будем
обозначать просто
.
3. Деление многочленов
Определим для многочленов понятие деления с остатком. Пусть даны два многочлена
и
(
,
и
).
Будем говорить,
что многочлен
делится на многочлен
,
если существуют многочлены
и
такие, что
,
причем
.
Многочлен
называется частным
при делении
на
,
– остатком
при этом делении, а
– делителем.
Если
,
то есть
,
то говорят, что
делится на
без остатка (или
нацело) и пишут
.
Теорема. Для
любых многочленов
и
деление возможно, причем частное
и остаток
определяются однозначно.