Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Липецкий государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m_a_2_2.doc

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2019

Размер:

697.34 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

- 43 -

где в определителе под знаком суммы -я строка – это строка . Раскладывая каждый определитель под знаком суммы по -й строке, получим следующую формулу

, (2.7.2.2)

где через обозначен определитель

а через -- алгебраическое дополнение к элементу определителя .

Формулой (2.7.2.2) удобно пользоваться в том случае, когда путем изменения элементов определителя на одно и то же число он приводится к виду, в котором легко считать алгебраические дополнения , в частности, когда значительная их часть равна нулю.

Пример 2.7.2.1. Вычислить определитель

Р е ш е н и е.

Обозначим через определитель, полученный из вычитанием 1 из всех его элементов, т.е. .

Очевидно, что . Алгебраические дополнения к внедиагональным элементам определителя равны нулю, а к диагональным . Тогда, в силу формулы (2.7.2.2),

Пример 2.7.2.2. Вычислить определитель

Р е ш е н и е.

Вычитаем из всех элементов определителя величину и обозначаем через определитель

Очевидно, что , алгебраические дополнения к внедиагональ-ным элементам, как и в примере 2.7.2.1, равны нулю, а к диагональным . Таким образом,

Упражнения.

Вычислить определители

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

2.7.3. Метод выделения линейных множителей

Пусть элементы определителя -– многочлены от одной или нескольких переменных. При преобразованиях выясняется, что определитель делится на ряд линейных множителей. Находим частное от деления определителя и тем самым получаем выражение определителя.

Пример 2.7.3.1. Вычислить определитель

. (2.7.3.1)

Р е ш е н и е.

Прибавив к первой строке вторую, третью и четвертую строку, получим, что

Вычтем из первой строки вторую и четвертую, прибавим третью. Получим, что

Прибавляя к первой строке третью и вычитая вторую и четвертую, получим

Наконец, прибавляя к первой строке четвертую и вычитая вторую и третью, видим, что

Так как – независимые переменные и множители , , , взаимно простые, то определитель (2.7.3.1) делится на их произведение. Это произведение содержит член . Значит,

Пример 2.7.3.2. Вычислить определитель

. (2.7.3.2)

Р е ш е н и е.

Определитель (2.7.3.2) является многочленом от переменной . Корнями этого многочлена являются те значения , при которых определитель (2.7.3.2) равен нулю. При в (2.7.3.2.) совпадают 1-я и 2-я строки, а значит, определитель (2.7.3.2) делится на , так как – корень многочлена. При в (2.7.3.2) совпадают 1-я и 3-я строки, а значит, исходный определитель делится на , и т.д. Таким образом, (2.7.3.2) делится на . Очевидно, что коэффициент при старшей степени многочлена равен 1. Таким образом,

У п р а ж н е н и я.

Вычислить следующие определители методом выделения линейных множителей :

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

Метод рекуррентных соотношений

Суть метода рекуррентных соотношений заключается в том, что данный определитель -го порядка выражают, преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное равенство называется рекуррентным или возвратным соотношением.

Этот способ можно видоизменить следующим образом. В рекуррентное соотношение, выражающее определитель -ого порядка через определители низшего порядка, подставляют выражение определителя -го порядка, получающегося заменой на , затем подобным образом подставляют выражение определителя -го порядка и т.д., пока не придем к общему выражению данного определителя -го порядка.