Алгоритм

Алгоритм
1	while (NBT0)
2	qc – текущая конфигурация МР. В качестве qT выбираем первую точку из BT .
3	if (объект_захвачен:=Алгоритм1(qc, qT) =ДА) сообщить о том, что Obj захвачен в конфигурации qT ; go to 6; endif
4	endwhile
5	Сообщить о том, что Obj не может быть захвачен
6	Конец Алгоритма

Алгоритм1 получает значения в формате: Алгоритм1(qⁿ, q^T) и посвящён выяснению вопроса о том, является ли точка q^T достижимой из qⁿ в неизвестной среде.

Алгоритм1(qn, qT)
1	МР находится в qn (назовём её «точка смены пути»).
2	NBT:=Процедура2();
3	if (NBT = 0) объект_захвачен:=НЕТ; return(объект_захвачен); endif
4	/*если в Z(qn) есть конфигурации, в которых может быть захвачен Obj*/ if (ZBT:=Z(qn)∩BT0) перейти в первую такую конфигурацию из BT; объект захвачен:=ДА; return (объект_захвачен); else go to 5; endif
5	/* Здесь осуществляется попытка планирования L(qn, qT) внутри Х*/ if (number_config:=ПИ (qn,qT, ,X)=0) /*Если попытка не успешна*/ /*L(qn, qT) сгенерирован быть не может, то есть qT является недостижимой*/ NBT:=Процедура1(BT , N BT , qT); объект_захвачен:=НЕТ; return(объект_захвачен); endif /*Если попытка успешна, происходит переход на 6*/
6	МР начинает исполнение пути L(qn, qT). Исходов движения может быть два: 1) МР попадает в некоторую разрешённую точку qiT BT. В этом случае происходит присвоение qT:=qiT и объект_захвачен:=ДА и выполняется возврат в Алгоритм; 2) МР придёт в некоторую точку q*, следующая за которой является запрещённой. В этом случае n:=n+1; qn:=q* ; go to 1;
7	Конец Алгоритма1

Теорема. Исполняя Алгоритм, МР решит Задачу за конечное число шагов.

Доказательство. Алгоритм выясняет достижимость конечного числа точек из B_T. Выяснение достижимости в отношении каждой из точек q^TB_T осуществляется путём исполнения Алгоритма1. Отсюда видно, что исполнение Алгоритма сводится к конечному числу вызовов Алгоритма1. Поэтому, чтобы доказать, что Алгоритм будет исполнен за конечное число шагов, требуется показать, что исполнение Алгоритма1 для произвольных qⁿ и q^T будет осуществлено за конечное число шагов.

Алгоритм1 посвящён выяснению вопроса о том, является ли точка q^T достижимой в неизвестной среде из точки смены маршрута qⁿ или нет. В Алгоритме1, когда МР находится в точке qⁿ, n=0,1,2,…, происходит запуск СС и запуск процедуры ПИ(). Если в результате исполнения этих действий точка q^T будет определена как запрещённая (в силу налегания на препятствие, либо в силу недостижимости), произойдёт возврат в Алгоритм и для исследования достижимости будет назначена другая точка q^TB_T. Если в результате исполнения этих действий точка q^T не будет определена как запрещённая, происходит генерация пути L(qⁿ, q^T) и МР начнёт исполнять этот путь. Исполнение этого пути может иметь два исхода: либо МР, не встретив на своём пути запрещённых точек, достигнет q^T, она окажется разрешенной и тогда произойдёт успешное окончание работы Алгоритма, либо МР придёт в точку qⁿ, n=1,2,…, следующая за которой будет запрещённой. Покажем, что все точки смены пути qⁿ, n=0,1,2,… будут различными и их число будет конечным.

Покажем, что все точки смены пути различны. Предположим, что МР сменил путь, находясь в точке q^s, а потом, находясь в точке q^p, вновь сменил путь, то есть s<p. Покажем, что q^sq^p. Предположим сначала, что q^s=q^p и тогда Q(q^s)=Q(q^p). Поскольку МР сменил путь, находясь в точке q^s, то он сгенерировал путь, не налегающий в том числе и на Q(q^s). Но поскольку МР сменил путь в точке q^p, то это означает, что его путь налёг на Q(q^p)=Q(q^s) (при этом q^s=q^p является центром r-окрестности точки q^s=q^p и следующая за ней точка является запрещенной), то есть Q(q^p)=Q(q^s) не было известным. Получили противоречие. Отсюда видно, что все точки смены пути различны.

Сделав отступление, заметим здесь, почему про каждую точку из Y(qⁿ), n=0,1,2,… СС должна доставлять точную и достоверную информацию, где qⁿ - точка смены пути. Предположим, что МР исполнял путь L(q^n-1, q^T) и прибыл в точку qⁿ, которая оказалась точкой смены пути, поскольку следующая точка пути q^A оказалась запрещенной (см. рис.2).

В точке qⁿ сработала СС, но предположим, что она доставила информацию не обо всех точках из Y(qⁿ), например, о точке q^B не была доставлена информация. В точке qⁿ МР сменил путь и продолжал двигаться. Пусть теперь МР исполняет путь L(q^m, q^T), m≥n. По прибытии в qⁿ МР обнаружит, что q^B является запрещенной и тогда qⁿ вновь станет точкой смены пути. Поэтому мы и потребовали, чтобы в каждой точке смены пути qⁿ, n=0,1,2,… СС доставляла точную и достоверную информацию о каждой точке из Y(qⁿ).

Число точек смены пути конечно, поскольку конечно число точек в Х в силу введённой дискретизации.

Итак, число точек смены пути qⁿ, n=0,1,2,… конечно и они все различны. В каждой точке qⁿ осуществляется запуск СС и вызов процедуры ПИ, генерирующей L(qⁿ, q^T). В результате выполнения этих действий либо получаем информацию о том, что q^T является запрещённой, либо нет. Если получаем, выяснение вопроса о достижимости q^T заканчивается выводом о недостижимости q^T. Если нет, происходит попытка исполнения пути L(qⁿ, q^T). Если и в последней точке смены пути qⁿ точка q^T не была квалифицирована как запрещённая, то будет сгенерирован L(qⁿ, q^T), этот путь будет исполнен и q^T будет достигнута.

Таким образом, показано, что МР, исполняя Алгоритм1, за конечное число шагов либо достигнет точки q^T, либо сделает вывод о том, что q^T недостижима. Алгоритм сводится к исполнению Алгоритма1 конечное число раз. Отсюда видно, что, исполняя Алгоритм, МР решит Задачу за конечное число шагов. Теорема доказана.