Розділ VI. Деякі математичні методи

15.Лабораторна робота №15

Одномірна статистика та підготовка гістограм.

Мета робoти – засвоїти основні числові методи статистичної обробки, а також виробити навики програмної реалізації цих методів.

15.1Теоретична частина.

15.1.1Основні статистичні характеристики.

Об’єктом дослідження при статистичному аналізі є сукупність фіксованої кількості N числових даних х_i (i=1...N), які можуть бути подані у вигляді одномірного масиву. Одномірною статистикою називається подана нижче сукупність статистичних характеристик.

Початкові статистичні моменти k-го порядку:

m_k(x)=1/N . (1)

Центральні статистичні моменти k-го порядку:

M_k(x)=1/N . (2)

Якщо при обчисленнях за формулою (1) не обов’язково запам’ятовувати в масиві всі значення х_i, а накопичувати суму по мірі надходження (введення) нових значень, то обчислення центральних моментів за формулою (2) вимагає принаймні подвійного перегляду масиву значень x_i - одного для обчислення m₁ і другого для накопичення M_k. Подані нижче співвідношення між центральними та початковими моментами:

M₂=m₂–m₁²; M₃=m₃–3m₁m₂+2m₁³; M₄=m₄–4m₁m₃+6m₁²m₂–3m₁⁴ (3) дозволяють усунути цю незручність і, розрахувавши за один перегляд масиву початкові моменти, потім обчислити центральні.

Деякі статистичні моменти мають спеціальні назви:

1. Середнє значення x=m₁.

2. Дисперсія D=M₂.

3. Стандартне відхилення = .

4. Асиметрія A=M₃/M₂^3/2.

5. Ексцесс E=M₄/M₂²–3.

15.1.2Гістограма розподілу числових даних.

Гістограма вказує кількість чисел x_i, які попадають в інтервали зміни x з межами d₀, d₁, ... d_k. Гістограма графічно будується у вигляді стовпців, висота яких відповідає кількості x_i, які попали в відповідний інтервал зміни x, на який спирається стовпець на горизонтальній осі x.

15.1.3Питання, які необхідно вивчити для виконання роботи.

• введення раніше підготованих даних;

• кероване виведення тексту;

• виведення прямокутника в графічному режимі;

• зміна координат при зсуві і масштабування зображення;

• обчислення скінченних сум;

• вбудовані функції для генерації випадкових величин.

15.2Завдання.

Для заданої сукупності даних x_i з діапазону [x₀, x_M] обчислити середнє значення і ще дві задані статистичні характеристики (варіанти завдань приведені в Табл. 15 .1). Вивести на екран гістограму розподілу величини x при заданій кількості піддіапазонів K=5.

Табл. 15.1 Варіанти завдань до лабораторної роботи №15.

№пп	x0 xM	Відліки xi	Обчислювані статистичні характерисики
1	0.0 8.0	6.15 7.87 4.91 0.44 1.38 2.11 3.88 0.32 6.99 1.07 3.33 0.00 7.64 1.86 6.876.92 2.20 6.50 5.56 0.05	m, D, A
2	0.0 8.0	2.55 0.23 6.33 4.43 8.00 4.33 4.09 6.79 5.13 1.63 0.03 5.89 7.48 4.24 2.84 0.23 2.40 5.83 5.75 1.62	m, D, E
3	0.0 8.0	4.74 5.23 3.45 0.94 1.38 1.10 0.46 7.32 7.20 4.60 4.07 3.46 5.08 3.65 2.61 6.86 3.48 1.75 3.64 6.65	m,, A
4	0.0 8.0	6.24 3.79 3.70 4.25 7.63 4.31 0.10 2.01 2.51 0.11 0.31 5.31 5.57 1.08 7.28 6.87 3.70 7.58 1.96 4.54	m,, E
5	12.0 30.0	25.21 19.15 12.83 16.06 23.16 12.57 19.01 16.70 14.52 25.31 21.20 13.80 26.46 16.91 14.64 22.32 19.40 14.39 27.52 19.57	m, D, A
6	12.0 30.0	19.86 28.97 17.84 14.11 17.55 12.40 25.29 26.39 20.02 18.94 24.75 26.75 25.29 26.94 27.24 25.07 20.37 20.81 29.09 29.57	m, D, A
7	12.0 30.0	22.21 17.84 23.76 12.93 15.15 14.01 25.59 13.30 22.45 21.71 27.46 14.51 16.91 21.91 14.19 15.16 18.41 16.34 17.25 23.47	m, D, E
8	12.0 30.0	12.00 16.72 20.62 23.08 25.34 18.15 16.14 28.76 26.48 25.64 20.14 29.59 21.17 23.99 19.74 28.44 27.32 23.85 28.86 29.63	m,, A
9	2.0 2.8	2.44 2.72 2.56 2.35 2.73 2.79 2.31 2.18 2.08 2.03 2.16 2.07 2.64 2.01 2.49 2.77 2.01 2.29 2.18 2.17	m, D, A
10	2.0 2.8	2.64 2.40 2.79 2.07 2.06 2.50 2.70 2.72 2.08 2.48 2.74 2.21 2.11 2.64 2.28 2.74 2.58 2.77 2.27 2.42	m, m2, D
11	2.0 2.8	2.30 2.09 2.67 2.77 2.04 2.19 2.61 2.01 2.28 2.15 2.32 2.59 2.64 2.14 2.00 2.34 2.08 2.30 2.73 2.72	m, D, A
12	2.0 2.8	2.24 2.52 2.60 2.65 2.78 2.78 2.21 2.55 2.49 2.10 2.01 2.47 2.71 2.70 2.04 2.71 2.14 2.05 2.68 2.61	m, D, E
13	-7.0 -1.0	-3.23 -5.95 -6.19 -3.24 -6.30 -4.63 -6.50 -6.44 -1.41 -4.02 -6.38 -3.62 -5.63 -3.86 -4.22 -3.00 -5.24 -1.21 -2.84 -4.42	m,, A
14	-7.0 -1.0	-1.31 -3.51 -6.41 -3.55 -5.57 -1.10 -4.90 -3.73 -6.23 -3.27 -2.69 -2.99 -5.35 -4.86 -4.24 -1.39 -1.78 -1.69 -3.97 -1.51	m,, E
15	-7.0 -1.0	-3.33 -2.88 -5.88 -3.44 -6.18 -2.20 -5.90 -5.53 -5.77 -6.55 -1.35 -6.05 -6.31 -6.37 -3.43 -3.61 -4.01 -4.49 -4.35 -2.94	m, m2, D
16	-7.0 -1.0	-2.90 -1.86 -4.27 -5.21 -3.47 -3.46 -3.57 -4.21 -2.80 -6.17 -5.17 -1.77 -.33 -3.65 -1.68 -1.69 -5.68 -5.31 -1.80 -1.03	m, D, A

15.3Методичні вказівки до лабораторної роботи.

15.3.1На етапі постановки задачі.

Визначити порядок введення заданих значень x_i –користувачем з клавіатури, раніше підготованих у файлі даних або з використанням внутрішнього генератора випадкових чисел. Навести необхідні розрахункові формули для обчислення заданих величин. Навести ескіз розміщення на екрані ЕОМ вхідних і вихідних даних, а також гістограми розподілу величини x.

15.3.2На етапі розробки структури даних.

При розробці структури даних передбачити змінні для накопичення сум x_k для обчислення центральних моментів та масиву лічильників для формування гістограми.

15.3.3На етапі розробки алгоритму.

При розробці алгоритму необхідно забезпечити підрахунок кількості введених значень N в процесі введення, можливість виводу статистичних характеристик та гістограми в будь-який момент часу (до закінчення введення всіх x_i).

Найпростіший алгоритм побудови гістограм полягає у порівнянні x_i з сіткою границь піддіапазонів d₁...d_k і підрахунку кількості попадань x_i в кожний інтервал за допомогою умовних операторів. Однак цей алгоритм дуже громіздкий і повільний, особливо при великій кількості піддіапазонів. В більшості випадків всі піддіапазони мають однакову ширину x=(x_M-x₀)/K.

Алгоритм швидкої підготовки гістограми може бути таким:

1. Ввести x_M, x₀ i K, розрахувати x;

2. Ввести x_i і розрахувати номер піддіапазону, в який попадає це значення за формулою N_i=[(x_ix₀)/x]+1. ^

3. Інкрементувати (тобто збільшити на одиницю) лічильник з номером N_i і повернутися до пункту 2.

4. Вивід гістограми здійснюється за допомогою циклу за масивом лічильників із розрахунком координат кожного прямокутника гістограми.

15.3.4На етапі тестування.

В результатах тестування наводяться отримані значення статистичних характеристик та малюнок гістограми.

Після цього оператор вводу значень x_i в програмі замінюється оператором присвоєння випадкового значення і, за допомогою тієї ж програми, визначаються статистичні характеристики внутрішнього генератора випадкових чисел.

16.Лабораторна робота №16

Методи розв’язування нелінійних рівнянь

Мета робoти – засвоїти основні числові методи розв’язування нелінійних рівнянь, а також виробити навики програмної реалізації цих методів.

16.1Теоретична частина.

16.1.1Розв’язування нелінійних рівнянь.

Розв’язок нелінійного рівняння (зокрема трансцендентного) вигляду

F(x)=0 (1)

полягає у знаходженні одного або всіх коренів на деякому наперед визначеному інтервалі.

Як правило, намагаються локалізувати кожний корінь на своєму інтервалі [a, b]. Після цього знаходження кореня здійснюється шляхом вибору приблизного значення кореня і поступового наближення (ітерацій) до фактичного значення кореня. Значення кореня можуть бути знайдені з деякою скінченою похибкою, тобто рівність (1) буде виконуватись лише наближено. Можливі два критерії закінчення ітерацій:

|x_nx_n-1| < , або (2)

F(x_n) < , (3)

де   мала наперед задана величина.

Методи розв’язку нелінійних рівнянь відрізняється методом ітерацій, тобто знаходження наступного наближення x_n.

16.1.2Метод Ньютона (дотичних).

Метод полягає у заміні F(x) у точці початкового наближення x=x₀ дотичною, перетин якої з віссю х дає перше наближення x₁. Таким чином процес наближення до значення кореня реалізується ітераційною формулою

x_n+1=x_n F(x_n)F’(x_n), (4)

поки не виконається умова (2) або (3).

16.1.3Метод хорд.

При використанні методу хорд кожне значення x_n+1 знаходиться як точка перетину осі абсцис з хордою, проведеною через точки F(a) та F(b), при цьому одна з цих точок фіксується. Якщо нерухомим є кінець хорди x=a, то ітераційна формула має вигляд

x_n+1=x_n (x_na). (5)

16.1.4Метод половинного перетину (діхотомії).

Цей метод полягає у діленні інтервалу локалізації навпіл: C=(a+b)2.

Далі вибирається та половина інтервалу, на якій функція F(x) змінює знак і знову ділимо вибрану половину навпіл. процес ділення продовжується, поки довжина інтервалу не стане меншою від 2. Тоді координата середини відрізку буде значенням кореня рівняння (1) з точністю .

16.1.5Метод порозрядного наближення.

Вибирається початкове наближення x₀=a і довільний початковий крок ітерацій С. Вибирати C>b-a недоцільно. Потім перебираються значення х за ітераційною формулою

x_n+1=x_n+C, (6)

поки знаки F(x_n+1) і F(x_n) не стануть різними. Тоді змінють напрям і величину кроку С:

C:= CR, (7)

де R - показник розрядності. Після цього продовжуємо пошук кореня за формулою (6). Корінь вважається знайденим, коли крок С стане меншим за задану похибку . В частковому випадку R=10 метод називається методом подекадного наближення і дозволяє находити корінь із заданою кількістю достовірних десяткових цифр.