§ 4. Задачи.

1. Выясните, к какому из корней 0, 1 уравнения = 0 ( R) сходится метод Ньютона (3.4) в зависимости от . При каких метод будет расходиться?

2. Для поиска кратного корня уравнения φ( ) = 0 (φ: R  R) целесообразно использовать модификацию метода (3.4):

p , (4.1)

где p – кратность искомого корня *.

Определите необходимое количество итераций при = 2 для вычисления корня уравнения = 0 с точностью = 10 методом (3.4) и методом (4.1).

3. Доказать, что для функции φ С ([a;b]) и последовательности { } [a;b], построенной по методу (4.1) при определении * кратности p, справедливы оценки:

,

,

где φ( ) , (i=1,...,p), φ( ) , φ( )=φ( ).

4. Постройте рекуррентную формулу для вычисления корня степени ( N) числа a>0.

Вычислите с точностью до 0,1.

5. Длина периметра правильного вписанного 96-угольника, которым пользовался Архимед при вычислении числа , выражается для единичной окружности формулой:

p=96(2 - (2 + (2 + (2 + ) ) .

Используя задачу 4, вычислите число с точностью до 0,01 по методу Ньютона.

6. Сделайте несколько итераций по методу Ньютона (3.2) для функции

= из различных начальных точек:

а) <<1;

б) >>1, расположенных на осях координат.

Добейтесь сходимости, заменяя матрицу Гессе матрицей + E с достаточно большим положительным значением параметра (см. [3] и модификацию (3.7) – (3.9)).

Проанализируйте результаты счета.

7. Рассмотрите функцию = , где R², . В качестве начальной точки в методе Ньютона (3.2) и параметра R используйте следующие значения:

а) a = -0,2; ′ = (0;1);

б) a = -0,01; ′ = (0;5).

Модифицируя метод (см. задачу 6), добейтесь сходимости.

8. Решение системы алгебраических уравнений A =B (4.2)

где R , A – симметричная положительная определенна матрица (nxn), может быть как решение задачи минимизации функции = A - B.

Доказать, что градиентный метод с постоянным шагом = сходится к решению системы (4.2), если ║E - A║ < 1.

9. Численно минимизировать функцию .

Учесть, что эта функция имеет два локальных минимума и одну седловую точку. Испробовать несколько начальных точек и определить границы, за которыми выбор начальной точки не приводит к успеху.

10. Для функции выполните несколько итераций по методу Ньютона и градиентным методом. В качестве начальной точки выберите точку = = 0,1. Проанализируйте результаты счета.

11. Показать, что меньшие требования к гладкости функции φ (отказ от условия Липшица на φ) в теореме 2 могут привести к уменьшению скорости сходимости метода Ньютона (3.4). Рассмотрите прим φ( ) = | | , R.

12. При минимизации функции Розенброка сравните эффективность рассмотренных в методических указаниях методов. В качестве начальных точек и параметров используйте следующие значения:

=0,1; =1; =10; =100.

; ; ;

13. Вычислите градиенты функции Розенброка при = 100 в точках (-1,2;1), (0;0), (1,5;1) и сравните полученные направления антиградиента с направлениями т точку минимума (1;1).

14. Выясните, для каких значений метод Ньютона (3.2) сходится к точке минимума функции = - ( R).