3.7 Критерий Шовене

Критерий Шовене применяется для законов, не противоречащих нормальному, и строится на определении числа ожидаемых результатов наблюдений  , которые имеют столь же большие погрешности, как и подозрительный. Гипотеза о наличии грубой погрешности принимается, если выполняется условие:

.

Порядок проверки гипотезы следующий:

1) вычисляются среднее арифметическое и СКО результатов наблюдений для всей выборки;

2) из таблицы нормированного нормального распределения (Приложение В – интегральная функция нормированного нормального распределения) по величине определяется вероятность появления подозрительного результата в генеральной совокупности чисел n:

;

(3.9)

3) число ожидаемых результатов  определяется по формуле:

.

(3.10)

Указанные выше критерии во многих случаях оказываются “жесткими”. Тогда рекомендуется пользоваться критерием грубой погрешности  /4/, зависящим от объема выборки n и принятой доверительной вероятности Р.

Таблица 3.7 – Зависимость критерия грубой погрешности k от объема выборки n и доверительной вероятности Р

9	4,42	7,10	11,49	25	3,84	5,14	6,25
10	4,31	6,99	10,26	30	3,80	5,00	5,95
12	4,16	6,38	8,80	40	3,75	4,82	5,56
15	4,03	5,88	7,66	50	3,73	4,70	5,34
20	3,90	5,41	6,73

Для распределений, отличных от нормального, таких классов, как двух модальных кругловершинных композиций нормального и дискретного распределения c эксцессом ; островершинных двумодальных; композиций дискретного двузначного распределения и распределения Лапласа с эксцессом ; композиций равномерного распределения с экспоненциальным распределением эксцесса и классом экспоненциальных распределений в пределах изменения эксцесса граница грубой погрешности определяется величиной или , где:

,

(3.11)

где   – контрэксцесс;

.

(3.12)

Погрешности в определении оценок S СКО и являются отрицательно коррелированными, т. е. возрастание СКО S сопровождается уменьшением  /3/. Поэтому определение границ грубой погрешности для законов, отличных от нормального, с эксцессом с помощью критерия является достаточно точным и может широко использоваться на практике.

Оценки , S и должны вычисляться после исключения подозрительных результатов из выборки. После расчета границ грубой погрешности результаты наблюдений, оказавшиеся внутри границ, возвращаются, а ранее найденные характеристики распределения уточняются.

Для равномерного распределения за границы грубой погрешности можно принять величину .

Рассмотрим пример применения критериев для исключения грубых погрешностей при измерении скорости ударной волны. Получены результаты, представленные в таблице 3.8.

Таблица 3.8 – Результаты наблюдений

Скорость , км/с	3,42	3,43	3,44	3,45	3,46	3,47	3,48	3,49	3,50
Частота	1	2	4	5	4	2	1	0	1

Требуется определить, не содержит ли результат наблюдения V=3,50 км/с грубую погрешность.

Для графического определения вида закона распределения построим гистограмму. При построении разбиение на интервалы осуществляем таким образом, чтобы измеренные значения оказались серединами интервалов, что показано на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2 – Общий вид гистограммы

По виду гистограммы предположительно идентифицируем опытное распределение нормальным. Вычисляем оценки и S:

км/с;

км/с.

Решим задачу с помощью критериев, установленных для нормального распределения.

Проверка по критерию . Вычислим удаленность подозрительного результата от центра распределения:  км/с.

Определим границу погрешности:  км/с.

Поскольку | км/с <  км/с, то можно сделать вывод, что результат  км/с не содержит грубой погрешности.

Проверка по критерию Смирнова . Из таблицы 4.6 (n<25) для принятого уровня значимости и объема выборки находим . Наличие грубой погрешности в результате  км/с подтверждается, так как:

км/с <  км/с.

Проверка по критерию Романовского. Определяем характеристики распределения без учета подозрительного результата:

км/с;  км/с.

По таблице 3.2 находим коэффициент Стьюдента при объеме выборки и доверительной вероятности ; . Наличие грубой погрешности подтверждается, т. к.:

км/с >  км/с.

Проверка по критерию Шовене. При нахождении характеристик распределения участвуют все наблюдения и поэтому  км/с;  км/с.

Вычисляем квантиль по формуле:

.

(3.13)

В данном случае:

.

По таблице В.1 Приложения В определяем вероятность выхода результатов за квантиль :

.

Тогда ожидаемое число наблюдений с результатом  км/с.

.

Так как , то приходим к выводу о наличии грубой погрешности в результате наблюдения  км/с.

Поскольку большинство критериев (3 из 4-х рассматриваемых) показали наличие грубой погрешности, то результат наблюдения необходимо исключить из выборки.