Глава 6. Дифференциальное исчисление

Важнейшим понятием современной математики является понятие производной функции. Оно возникло как результат многовековых усилий, направленных на решение задачи о касательной к данной кривой, задачи о скорости неравномерного движения и некоторых других задач. Подобные задачи интересовали математиков с давних времен, и накопившийся в этом направлении обширный материал получил теоретическое завершение лишь в 17 веке в трудах Ньютона и Лейбница.

§1. Производная функции

Пусть функция у = f(x) определена во всех точках некоторого интервала (а; b) и точка х_о принадлежит этому интервалу. Пусть х  другая точка из (а; b), тогда разность х = х  х_о называется приращением аргумента в точке х_о, и разность у = f(x) f(x_o) называется приращением функции f(x) в точке х_о, соответствующим приращению х.

О пределение 1. Производной функции у = f(x) в точке х_о называется предел отношения у к х в точке х_о, когда х стремится к нулю, если этот предел существует, (обозначения: f (x₀), y(x₀), , ).

Пример 1. 1). Вычислить производную функции у = х³в точке х_о = 2.

Р ешение. По условию, х = (х 2) и у = (х³2³). Тогда

Ответ: y (2) = 12.

2). Вычислить производную функции у = lnxв точке х_о = 1.

Р ешение. По условию, х = (х 1) и у = (lnx ln1). Последнее выражение преобразовывается следующим образом: у = ln x  ln(1 + x 1) =

Ответ: y (2) = 12.

Если конкретная точка х₀ не указана, то производные записываются в общем виде для произвольного х так как это сделано в следующей таблице.

Таблица производных простейших функций

№	Функция	Производная	Частные случаи
1	x^	 x^	1' = 0; x' = 1; (х²)' = 2x; ;
2	а^х	а^хlna	(a^mx)' = ma^mxlna; (е^mx)' = me^mx.
3	log_ax
4	sinx	cosx	(sin(mx)) = m cos(mx).
5	cosx	sinx	(cos(mx)) =  m sin(mx).
6	tgx		(tg(mx)) = .
7	ctgx		(ctg(mx)) = .
8	arcsinx		(arcsin(mx)) =
9	arccosx		(arcos(mx)) = 
10	arctgx		(arctg(mx)) =
11	arcctgx		(arcctg(mx)) =