Первый замечательный предел

Следующий предел называется первым замечательным пределом:

Доказательство. Сначала рассматривается случай . Тогда выполняется неравенство: . Действительно, на следующем чертеже изображены дуга окружности радиусом R, хорда АВ и отрезок АС касательной к окружности в точке А.

В С

R Rtgx

О x R А

Черт.31.

Из построения следует, что площадь треугольника АОВ меньше площади сектора АОВ, которая в свою очередь меньше площади треугольника АОС.

Пусть х обозначает меру угла АОВ в радианах, тогда:

1) площадь треугольника АОВ равна ;

2) площадь сектора АОВ равна ;

3) площадь треугольника АОС равна .

Поэтому имеет место соотношение: . После сокращения на , получается доказываемое неравенство: . Из этого неравенства следуют неравенства и .

Из последнего неравенства получается соотношение:

.

Отсюда следует, что при х +0, т. е. .

Если x < 0, то в силу нечетности sinx, выполняется равенство: = , где –х > 0. Тогда по доказанному . Таким образом,

при х  +0 и х  0, поэтому рассматриваемый предел доказан.

Пример 10. Вычислить пределы.

1). . Делается замена: 6х = , тогда 3х = и   0 при х  0. Теперь данный предел равен: .

2). . Применяется тригонометрическая формула из §2:

, тогда исходный предел равен = 2.

3). Применяется замена: , отсюда, согласно указанным в §2 тождествам, . В силу непрерывности функции arcsin3x (см. §4),   0 при х  0. Тогда исходный предел равен .

Второй замечательный предел

Р ассматривается следующая последовательность чисел: Доказывается, что члены этой последовательности возрастают и содержатся в промежутке [2; 3). По cвойству пределов 8, эта последовательность имеет предел, этот предел обозначается буквой е и приближенно равен 2,72:

Как уже было сказано выше, число е служит основанием функции экспоненты: exp(x) = e^x, и основанием натуральных логарифмов: ln(x) = log_e(x).

Указанный предел используется для раскрытия неопределенностей вида {1^}. Часто используются также следующие вспомогательные пределы:

П ример 11. Раскрытие неопределенности вида {1^} .

.

Т еперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции

Определение 9. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х_о, если она определена в некоторой окрестности х_о и выполняется равенство:

Это определение содержит следующие условия непрерывности:

1. f(x) должна быть определена в некотором интервале, содержащем х_о;

2. д олжны существовать конечные пределы (слева и справа):

3. пределы (43) должны быть одинаковыми;

4. пределы (43) должны равняться f(x₀).

Определение 10. Точка x₀ является точкой разрыва функции f(x), если в точке x₀ не соблюдено хотя бы одно из условий не­прерывности 1) 4).

Различают следующие виды точек разрыва:

Точка x₀ является точкой разрыва I-го рода функции f(x), если су­ществуют конечные пределы (43), но эти пределы различные или отличаются от f(x₀). Точка x₀ является точкой разрыва II-го рода функции f(x), если хотя бы один из пределов (43) равен .

Пример 12. Анализ точек разрыва функций.

т очка х = 3 является точкой разрыва I-го рода, ибо существуют конечные

п ределы:

Свойства непрерывных функций

1). Степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции непрерывны при всяком x₀ , при котором они определены.

2). Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀, то их сумма, разность, произведение и отношение непрерывны в точке x₀.

3). Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀, и g(x₀)  0, то отношение непрерывно в точке x₀.

4). Пусть функция у = g(x) непрерывна в точке x₀ и функция f(y) непре­рывна в точке y₀ = g(x₀), тогда суперпозиция (fg)(x) = f(g(x)) непрерывна в точке x₀.

Непосредственным следствием этих свойств является следующее утверждение.

Теорема 1. Каждая элементарная функция непрерывна во всех точках, в которых она определена.

Определение 11. Функция f(x) называется непрерывной на сегменте

[ a; b], если она непре­рывна в каждой точке внутри сегмента, а на его концах выполняются соотношения:

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a; b], то:

1. f(x) ограничена на [a; b];

2. f(x) достигает на [a; b] свои наибольшее и наименьшее значения;

3) f(x) принимает на [a; b] все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями.

Y

maxf(x) f(b)

f(a)

minf(x)

0 a b X

Черт.32.

Из свойств 1)  3) следует, что любая элементарная функция непрерывна в своей области определения. А теорема 2 показывают, что математиче­ское определение непрерывной функции полностью соответствует реальному понятию непрерывного процесса.