Так как роль центростремительной силы выполняет кулоновская сила, то
. (1.21)
Учитывая, что
, (1.22)
имеем
. (1.23)
Распространяя условие квантования круговых боровских орбит (1.10) на всю систему
mе e a + M я b = n (1.24)
и комбинируя уравнения (1.18–1.22), получим для величины энергии электрона:
, (1.25)
где
приведенная масса системы электрон-ядро.
Следовательно, для волнового числа линии, возникающей при переходе Em En, получим :
(1.26)
Энергетическая постоянная и постоянная Ридберга при учете конечности массы ядра равны:
A = A/(1+me/Mя); R = R /(1+ me/Mя). (1.27)
Незначительное
(4·10-4%)
отличие
от
Rэксп.
обусловлено тем, что в эксперименте
длины волн линий спектра водорода
измеряются в воздухе, а не в вакууме.
Приведенная масса будет иметь различные значения для разных изотопов, и, следовательно, энергия системы электрон-ядро также будет принимать разные значения. Это различие приводит к тому, что линии изотопов, обусловленные одним и тем же квантовым переходом EmEn, будут иметь различные длины волн.
Различие в длинах волн (соответственно в волновых числах), обусловленное различием в массах ядер изотопов, называется изотопическим сдвигом линии (изотопическим эффектом масс). Именно по изотопическому сдвигу и был открыт тяжелый изотоп водорода – дейтерий (1932 г.).
Рассмотрим выражение изотопического сдвига для линий водорода и дейтерия. Волновые числа линий излучения соответствующих изотопов согласно (1.26) имеют вид:
(1.28)
Здесь Mp и MД массы протона и дейтрона соответственно. Изотопический сдвиг в линиях:
(1.29)
Таким образом, относительная величина изотопического сдвига пропорциональна разности масс изотопов, обратно пропорциональна произведению масс изотопов. Из формулы (1.29) видно, что изотопический сдвиг быстро уменьшается с ростом атомного веса элемента. Для легких атомов он достигает наибольших значений.
Выражение для изотопического сдвига линий в шкале длин волн аналогично (1.29):
. (1.30)
Упражнение 1
В данном упражнении изучается серия Бальмера в спектре испускания атома водорода, линии которой лежат в видимой области. В серии Бальмера т = 2. Квантовое число п для первых четырех линий принимает значения 3, 4, 5, 6. Эти линии обозначаются соответственно Н, Н, Н и Н.
Свечение водорода создается в газоразрядной водородной лампе типа ТВС-15 при пропускании через нее электрического тока от отдельного блока питания. Для наблюдения спектра и измерения длин волн спектральных линий удобно использовать призменный монохроматор-спектрометр УМ-2 (см. приложение 2). Для этого, собрав установку на базе УМ-2, проверяют градуировку монохроматора по спектру ртутной лампы (см. гл.3, п. 3.2). Далее для каждой из названных четырех линий серии Бальмера находят отсчет на барабане ' и с помощью его исправленного значения = ' + по градуировочному графику определяют длину волны . Следует отметить, что в излучении водородной лампы линии атомного спектра наблюдаются на фоне менее интенсивного спектра молекулярного водорода. Поиск нужных линий необходимо начинать с наиболее яркой красной линии Н. Вторая линия Н зелено-голубая, третья Н фиолетово-синяя, четвертая Н темно-фиолетовая. Из-за небольшой интенсивности наблюдать ее труднее.