Распределения Ферми–Дирака и Бозе–Эйнштейна. Бозе-конденсат

В 1901 г. Дж. Гиббсом (J.W.Gibbs) в рамках классической статистики было открыто каноническое распределение частиц по энергиям:

, (7.4)

где E_n – энергия частицы макроскопической системы. Исходя из этого распределения, можно найти распределение по энергиям и в газе квантовых частиц – фермионов и бозонов.

Пусть в k-ом квантовом состоянии находятся n_k частиц. Тогда, как известно из статистической физики, для этого состояния термодинамический потенциал =F – N (F – свободная энергия,  – химический потенциал, N – полное число частиц в системе) имеет вид:

, (7.5)

В идеальном газе фермионов действует принцип Паули, вследствие чего числа заполнения каждого состояния n_k могут принимать лишь значения 0 или 1. Поэтому из (7.5) получаем

Производная термодинамического потенциала по химическому потенциалу определяет среднее число частиц, т.е.

(7.6)

Выражение (7.6) описывает распределение частиц по уровням энергии в идеальном газе фермионов в зависимости от температуры и называется распределением Ферми–Дирака (рис. 7.1), которое в пренебрежении дискретностью состояний обычно записывается в виде:

^. (7.7)

Распределение Ферми-Дирака нормировано очевидным условием

которое определяет в неявном виде химический потенциал  как функцию Т и N.

И з рис. 7.1 видно, что при Т=0К вероятность заселённости состояний f(ε) равна 1 и одинакова вплоть до энергии Ферми E_F, а при отличных от нуля температурах вследствие тепловых возбуждений часть фермионов переходит в область энергий E>E_F.

З

Рис. 7.1. Распределение Ферми–Дирака

Рис. 7.2. Температурная зависимость химического потенциала фермионов

ависимость химического потенциала , называемого также уровнем Ферми, от температуры показана на рис. 7.2.

Для частиц или комплексов частиц с целым спином (фотоны, фононы, ⁴Не₂ и пр.) волновая функция симметрична относительно перестановок, и принцип Паули не действует. Числа заполнения квантовых состояний ничем не ограничены, поэтому (7.5) перепишем в виде

,

где сумма геометрической прогрессии сходится только при

,

что должно иметь место при любых _k, в том числе и при _k=0, следовательно, химический потенциал может быть только отрицательным, т.е. всегда <0. Вычисляя сумму геометрической прогрессии, получим

,

откуда, аналогично (7.6) и (7.7), следует выражение для распределения по энергиям Бозе–Эйнштейна

^, (7.6)

отличающееся от (7.5) знаком в знаменателе и другой зависимостью химического потенциала от температуры (рис. 7.3, 7.4).

У бозе-газа состояние с наименьшей энергией при Т=0К соответствует Е=0 (так как (T0)=0), в отличие от ферми-газа, обладающего при Т0 конечной энергией. Поэтому бозе-частицы при охлаждении с течением времени, отдавая энергию, собираются на нижнем энергетическом уровне (Е=0) с импульсом р=0. Этот процесс называется «бозе-конденсацией», а получившееся в результате состояние системы частиц называется «бозе-конденсат».

Г

Рис. 7.3. Распределение Бозе–Эйнштейна

Рис. 7.4. Температурная зависимость химического потенциала бозонов

лавной особенностью бозе-конденсата является то, что все его частицы находятся на одном энергетическом уровне (при T=0), описываются одинаковой для всех частиц волновой функцией и, следовательно, сам бозе-конденсат описывается одной, общей для всех частиц, волновой функцией. При малых температурах (Т<T₀ =3.31ћ²/mn^2/3) распределение Бозе–Эйнштейна даёт экспоненциально спадающую (с ростом энергии) вероятность заселенности состояний:

, (7.7а)

а при T>T₀ вероятность заселенности состояний уменьшается гиперболически:

(7.7б)