Лекция №2

Постулаты квантовой механики

Исторически квантовая механика строилась на постулатах, которые не имели объяснения на момент их введения, но, следуя им, ученые добивались хорошего соответствия расчетных и экспериментальных характеристик квантовых явлений. Например, Планк постулировал, что излучение атомов дискретно и наименьшая порция энергии излучения , что позволило разрешить проблему спектра излучения абсолютно черного тела («ультрафиолетовая катастрофа»). А Нильс Бор постулировал существование стационарных (неизлучающих) орбит электронов в атоме, что позволило точно рассчитать спектр водорода и постоянную Ридберга. Но с развитием квантовой механики эти постулаты получили свое объяснение.

Однако сам формализм квантовой механики не имеет строгого (в математическом смысле) обоснования, и основан на формальных постулатах. Но, разумеется, к формулировке этих постулатов физики пришли в результате обобщения экспериментальных данных и анализа соответствия им создаваемых методов математического описания квантовых процессов.

Для того, чтобы сформулировать эти постулаты сначала введем некоторые основные понятия функционального анализа, оперирующего в пространстве функций, вообще говоря, комплексных.

Пусть – набор обобщенных координат, например, координат и скоростей частицы, или, как еще говорят, вектор в конфигурационном пространстве Q.

Определение

Скалярным произведением функций ( ) и ( ) называется интеграл

.

Следствие

Если , то говорят, что  и ψ ортогональны.

Пример. Пусть . Рассмотрим их скалярное произведение на интервале [-π, π]:

,

то есть эти функции ортогональны на интервале [-π, π] при n≠m.

В новых обозначениях полученные ранее соотношения можно записать в виде:

- условие нормировки на 1,

- условие нормировки на δ- функцию,

- амплитуда вероятности,

Определение.

Оператором называется математический объект (обозначаемый «крышкой» над буквой, например, ), действующий на функцию, а результатом этого действия является другая функция, т.е.

.

Примером операторов могут служить, в частности, операторы дифференцирования и интегрирования:

.

Пример. а) Пусть , тогда действие интегрального оператора определяется соотношением:

.

б) Рассмотрим дифференциальный оператор. Пусть , тогда

.

Определение. Если функция  удовлетворяет уравнению

,

где f – действительное число, то такая функция называется собственной функцией оператора , а число f - собственным числом оператора .

Скалярное произведение с оператором обозначается следующим образом:

.

Часто в физической литературе можно встретить и другие обозначения:

В таких обозначениях оператор действует на функцию, стоящую справа, а комплексносопряженный оператор действует на функцию, стоящую слева.

Определение

Оператор называется эрмитово сопряженным к на множестве функций , если

.

Пример. Пусть оператор , то есть его действие заключается в умножении функции на мнимую единицу. Тогда и на основании соотношения

оператор является эрмитово сопряженным к .

Определение

Если , то оператор называется самосопряженным или

эрмитовым оператором.

Следствие

Эрмитов оператор удовлетворяет соотношению

,

которое показывает, что скалярное произведение – действительно, т.е. можно записать

, (2.1)

где f – действительное число.

Пример. Пусть оператор , а функцию возьмем в виде , тогда на этом классе функций

то есть такой оператор является самосопряженным (эрмитовым).

Теперь перейдем к формулировке постулатов квантовой механики.

Первый постулат квантовой механики был упомянут ранее и определяет смысл волновой функции, а именно:

Квантовая система полностью описывается волновой функцией ( ), а величина

есть вероятность обнаружить частицу в элементе объема конфигурационного пространства , расположенного в точке, определенной вектором .

Второй постулат квантовой механики есть формулировка принципа суперпозиции для волновых функций, а именно:

Если ₁ – волновая функция состояния 1, а ₂ – волновая функция состояния 2, то их линейная комбинация ₃ = с₁₁ + с₂₂ описывает либо состояние 1, либо состояние 2.

Как нетрудно заметить, квантовый принцип суперпозиции отличается от классического, проявляющегося, например, при интерференции волн. Рассмотрим для примера образование молекул водорода и хлористого водорода.

При образовании молекулы водорода вероятность каждому из двух электронов находиться около какого-нибудь ядра одинакова и равна 0.5.

В молекуле хлористого водорода вероятность электрону, взятому у водорода, находиться около иона хлора значительно больше, то есть с₁«с₂.

Третий постулат квантовой механики (принцип соответствия):

Каждой физической величине F в квантово-механическом описании соответствует линейный эрмитовый оператор , собственные значения которого равны измерениям величины F в состояниях, описываемых волновой функцией , являющейся собственной функцией оператора , т.е.

(2.2)

Определение.

Собственное значение f называется квантовым числом оператора .

Следствие

Поскольку измерение величины F обязательно дает одно из собственных значений, то любая волновая функция в случае дискретного набора (спектра) собственных значений f может быть представлена в виде суперпозиции всех состояний

, (2.3)

а в случае непрерывного спектра

. (2.4)

Если система допускает и дискретный и непрерывный спектр, то

. (2.5)

Четвертый постулат квантовой механики:

В случае дискретного спектра измерение F дает значение f_n с вероятностью , а в случае непрерывного спектра измерение F дает значение в интервале (f, f+df ) с вероятностью .

Условие нормировки в общем случае имеет вид:

.

Величины c_n и c(f) называются амплитудами вероятности.

Следствием этих постулатов являются следующие полезные соотношения:

– выражения для амплитуд вероятности

(2.6а)

(2.6б)

– условия нормировки

(2.6в)

(2.6г)

Оператор импульса.

Свободное движение частицы характеризуется импульсом , а волновая функция в виде плоской волны (1.7) должна быть его собственной функцией, т.е. в случае движения по оси х имеем:

,

откуда с учетом (1.7) получим выражение для оператора импульса:

или в общем случае в векторном виде:

. (2.7)

Оператор кинетической энергии.

Из классического выражения для кинетической энергии на основании третьего постулата следует выражение для оператора кинетической энергии

(2.8)

Оператор координаты.

Действие оператора координаты на функцию определяется как умножение функции на саму координату, то есть

,

где х’ - числовое значение координаты. Таким образом, оператор координаты имеет непрерывный спектр собственных значений. Определим его собственные функции. Пусть собственной функции ₀ соответствует конкретное собственное значение х₀. Тогда можно записать:

,

где х – переменная. Это равенство при х ≠ х₀ выполняется только тогда, когда ₀=0, а при х = х₀ функция ₀ может иметь любое значение. Как собственные функции оператора, имеющего непрерывный спектр, они нормированы на δ- функцию, поэтому может быть только ₀=∞. А это значит, что ₀ удовлетворяет определению δ- функции. Таким образом, собственными функциями оператора координаты являются просто δ- функции

, (2.9)

Плотность вероятности того, что частица, описываемая волновой функцией ψ(х) имеет координату х, есть

Средние значения.

Поскольку поведение квантовых частиц случайно, то любой физический процесс, описываемый измеряемой величиной F и соответствующим оператором , имеет вероятностный исход, который характеризуется средним значением.

Среднее значение непрерывной случайной функции F(x) от случайной величины х на интервале [a,b] по определению есть

,

где ρ(х) – функция распределения случайной величины х, дающая вероятность нахождения, в нашем случае, частицы в точке х. Тогда на основании 1-го постулата квантовой механики

.

Тогда в общем случае конфигурационного пространства

,

или, переходя к квантовым обозначениям,

. (2.10)

Для волновых функций, нормированных на единицу, получим

,

то есть среднее (измеряемое) значение физической величины равно собственному значению оператора этой величины.

Среднее значение координаты частицы, описываемой волновой функцией , нормированной на 1, есть

Вычислим среднее значение импульса свободно движущейся частицы. Волновая функция такой частицы есть «волновой пакет»

.

Тогда

Важно отметить, что поскольку нормировка (1.9) и средние значения физических величин (2.10) включают произведение величин  и ^, то волновая функция определена с точностью до произвольного множителя вида e^i .