Уравнение вида

,

(5)

где и - непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если , то уравнение (5) называется линейным однородным уравнением. Если , то уравнение (5) называется линейным неоднородным уравнением.

Для нахождения общего решения уравнения (5) может быть применен метод вариации постоянной.

В этом методе сначала находят общее решение линейного однородного уравнения

,

(6)

соответствующего данному неоднородному уравнению (5). Уравнение (6) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем

, .

Отсюда, потенцируя, находим общее решение уравнения (6):

, или ,

(7)

где - произвольная постоянная.

Теперь найдем общее решение уравнения (5) в виде (7), где будем считать не постоянной, а новой неизвестной функцией от , т.е. в виде

.

(8)

Чтобы найти функцию и, тем самым, решение в виде (8), подставим функцию (8) в уравнение (5). Получим

или

.

(9)

Итак, чтобы функция (8) являлась решением уравнения (5), функция должна удовлетворять уравнению (9). Интегрируя его, находим

,

где - произвольная постоянная. Подставляя найденное выражение для в соотношение (8), получаем общее решение линейного уравнения (5):

.

(10)

При решении конкретных примеров проще повторять каждый раз все приведенные выше выкладки, чем использовать громоздкую формулу (10).

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Данное уравнение является линейным. Здесь , . Решаем сначала соответствующее однородное уравнение . Разделяя переменные и интегрируя, находим

или .

Ищем общее решение уравнения в виде . Дифференцируя, имеем . Подставляя в данное уравнение выражения для и , получаем

или ,

откуда , где - произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

или .

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение вида

,

(11)

где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции в некоторой области , называется уравнением в полных дифференциалах.

Если уравнение (11) является уравнением в полных дифференциалах, то его можно записать следующим образом:

,

где - такая функция, что .

Нахождение решения уравнения (11) сводится к отысканию такой функции , дифференциал которой равен .

Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы

.

(12)

Допустим, что условие (12) выполнено. Тогда существует функция такая, что . Отсюда

, .

(13)

Интегрируя соотношение по , находим

,

(14)

где - произвольная функция от . Теперь подберем функцию так, чтобы выполнялось второе из соотношений (13). Для этого продифференцируем правую часть равенства (14) по и производную приравняем :

.

(15)

Из полученного уравнения (15) определяем и, интегрируя, находим . Подставляя найденную функцию в соотношении (14), получаем искомую функцию .

Чтобы выделить из общего решения частное, удовлетворяющее начальным условиям , надо в общем решении и заменить начальными значениями. Тогда и - искомое частное решение.

Пример 4. Найти общее решение уравнения и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Здесь , . Так как

,

то выражение является полным дифференциалом некоторой функции . Имеем

.

(16)

Найдем функцию , используя формулу (15):

;

; ,

.

Подставляя найденное в (16), получаем

.

Данное уравнение принимает вид , а его общее решение определяется уравнением

.

Полагая ( ), получаем окончательное уравнение, определяющее неявно общее решение исходного дифференциального уравнения

.

Найдем теперь значение постоянной , при котором частное решение удовлетворяет заданным начальным условиям. Имеем: , откуда , и искомое частное решение определяется уравнением

.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка.

2. Что называется решением дифференциального уравнения первого порядка?

3. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

4. В чем заключается задача Коши?

5. Дайте определение общего и частного решений дифференциального уравнения первого порядка.

6. В чем заключается геометрический смысл дифференциального уравнения?

7. Что представляет собой геометрически общее решение уравнения?

8. Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

9. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка.

10. Дайте определение дифференциального уравнения в полных дифференциалах.