Замена переменной в неопределенном интеграле

Это один из двух самых мощных методов вычисления интегралов. Суть его примерно состоит в следующем. Допустим необходимо вычислить неопределенный интеграл от функции , переменная интегрирования в котором обозначена буквой , и этот интеграл кажется сложным для вычисления (не проходят ни метод непосредственного интегрирования, ни внесение под знак дифференциала и т.д.). Тогда есть смысл перейти к другой (новой) переменной интегрирования (скажем ), указав, конечно, связь между старой переменной и новой переменной . Эта связь может выражать либо как функцию от ( вида ) , либо как функцию от ( вида ). Тогда имеется правило (оно и называется заменой переменных), позволяющее исходный интеграл записать в новой переменной (новая переменная интегрирования). Этот новый интеграл по переменной может (при удачном выборе связи между новой и старой переменной) оказаться более простым для вычисления. Если мы его вычислим, то получим ответ, естественно, в новой же переменной . Если после этого в полученном ответе перейти опять к старой переменной (используя назначенную выше связь между старой и новой переменной), то получим ответ для исходного интеграла. Формально этот прием обосновывается следующей теоремой.

Теорема (замена переменной в неопределенном интеграле). Пусть 1) Функция имеет первообразную (а значит и интеграл) на интервале (как указывалось выше, таковы, например, все непрерывные функции). 2) Функция дифференцируема на некотором интервале и переводит этот интервал в интервал . Тогда функция тоже имеет первообразную (и интеграл) на и справедлива формулы замены переменной:

(1) ,

(2)

Вертикальная черта справа означает, что в полученном ответе необходимо перейти к соответствующей переменной по соответствующей формуле связи старой и новой переменной. В каждой из написанных формул в левом интеграле произведена замена переменной , но в первом интеграле – старая переменная, а – новая, а во втором наоборот. Доказывается эта теорема несложно с помощью правила (*) и формулы для производной от сложной функции.

При решении примеров на формулу (1) или (2) удобнее всего пользоваться следующими формальными рассуждениями. Допустим, нам нужно вычислить , но в исходной переменной этот интеграл кажется сложным для вычисления. Переходим к новой переменной интегрирования , указав соответствующую формульную связь старой и новой переменной: . Теперь можно формально подставить в везде вместо его выражение через , понимая при этом как дифференциал функции: . Тогда исходный переходит в , что как раз представляет собой правую часть формулы (2). После вычисления полученного интеграла остается перейти обратно в ответе к исходной переменной . Оформлять такое решение будем следующим образом:

(3) .

Единственным (но самым нетривиальным) творческим моментом при применении формул замены переменной (1) или (2) является выбор формы связи или старой и новой переменных. Как же выбирать связь этих переменных? Критерий один. Поскольку при замене переменной мы переходим от вычисления одного (исходного) интеграла к другому, то связь переменных надо выбирать такой, чтобы новый интеграл оказался бы для вычисления проще, чем исходный (иначе никакого смысла в замене одного интеграла другим не будет). Однако выбор такой связи не всегда очевиден и во многих случаях является искусством. Но для некоторых типов интегралов (в следующих параграфах мы коснемся части из них) форма упрощающей замены переменной известна.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Вообще-то такой интеграл есть в простой таблице интегралов под № 13 при , но теперь можно узнать, почему ответ имеет именно такой вид. Основная кажущаяся сложность вычисления интеграла – наличие корня в знаменателе. Какой же формулой заменить в интеграле через , чтобы квадратный корень после этого исчез? Квадратный корень исчезнет, если под корнем появится некоторое выражение в квадрате. Вспомним, что по основному тригонометрическому тождеству . Поэтому если сделать замену , то при подстановке такого под интеграл корень должен исчезнуть и, по-видимому, интеграл окажется проще. Именно поэтому выбираем замену переменной (т.е. выбираем ). Далее действуем по схеме (3):

Как видно, по новой переменной функция под интегралом значительно упростилась, став равной 1. По самой первой формуле из простой таблицы интегралов (с учетом того, что переменная интегрирования теперь обозначена не буквой , а буквой ) получаем ответ в новой переменной : . Осталось в этом ответе обратно выразить новую переменную через исходную переменную . Если , то в обратную сторону выражается через с помощью обратной функции: . Поэтому ответ в исходной переменной будет . Итак,

что соответствует табличной формуле при .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. . Далее для таких типов интегралов (когда выражение под интегралом содержит только под знаком косинуса, но перед есть множитель ) будет дана рекомендация введения новой переменной по формуле . Сделаем такую замену переменной в предлагаемом интеграле . Тогда в знаменателе можно будет сразу заменить на . Но остается под интегралом , а при замене переменной в интеграле должна остаться только новая переменная , а в конце должно стоять . Посмотрим, во что должно перейти выражение при переходе к новой переменной . Для этого вычислим дифференциал функции : , т.е. . Отсюда сразу получается, что выражение . Таким образом, оформляем следующую формальную запись: