Внесение под знак дифференциала и обобщенная таблица интегралов
Следующим методом
(по нарастанию сложности и универсальности)
является метод
внесения под знак дифференциала.
Он основан на том, что
приведенная
выше простая таблица интегралов остается
справедливой, если в левой и правой
части переменная интегрирования
заменяется на любую более сложную
формулу от
(т.е. на любую функцию
).
Итак, пусть
– любая дифференцируемая (т.е. имеющая
производную) функция. Тогда справедлива
следующая таблица интегралов, которая
называется обобщенной
таблицей интегралов
(поскольку при
она переходит обратно в простую таблицу
интегралов).
1)
2)
3)
,
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
В этой таблице
выражение
везде понимается как дифференциал
функции
,
т.е.
.
Таким образом, например, формула 5
означает, что
для любого выражения
.
Справедливость этой формулы (как и любой
другой в таблице) легко вывести,
непосредственно убедившись, что
действительно является первообразной
для функции
:
{ вспоминая формулу производной сложной
функции:
}=
.
Пример 1.
Применим формулу 8)
,
например, для
,
получим:
.
Раскрывая дифференциал в левой части
(
),
получим
.
Или (вынося 2 из-под интеграла и деля на
нее обе части полученного соотношения)
получим выражение для такого интеграла:
.
Правда, если изначально поставлена
задача вычислить
,
то действуют как бы в обратном порядке,
приводя исходный интеграл к виду
для
и используя обобщенную таблицу интегралов:
(с учетом того, что из обобщенной таблицы
).
Такой прием вычисления интегралов
называется внесением
под знак дифференциала,
так как мы действительно внесли
в подынтегральной функции под знак
дифференциала (
) , поставив перед интегралом так
называемый поправочный
множитель
(так как все же
,
а не
,
что стояло в интеграле изначально).
Пример 2.
Вычислить
.
Решение. Запишем
интеграл в виде:
.
Видно, что выражение
есть почти (с точностью до числового
множителя 3 ) дифференциал функции
,
так как дифференциал этой функции
-
т.е. почти то, что у нас под интегралом
было
,
только изначально не хватало там
множителя 3. Искусственно вставим этот
множитель внутри интеграла, но, чтобы
ничего не изменилось, перед интегралом
поставим поправочный множитель
,
который эту внесенную тройку как бы
нейтрализует (так как
)
:
{
применяем формулу 3)
при
и
}
=
.
Итак,
.
Очень часто
обобщенная таблица интегралов используется
в простом частном случае, когда функция
представляет собой линейную
комбинацию от
с некоторыми числовыми коэффициентами:
,
где
и
некоторые числа. В этом случае для
получения дифференциала
из
достаточно внести
под знак дифференциала, а в качестве
поправочного множителя перед интегралом
взять, соответственно,
.
Например,
={формула
5 обобщенной таблицы интегралов при
}
.
Для удобства использования приведем
общий вид основных
интегралов из простой таблицы, но у
которых аргумент
заменен на
:
(1)
(2)
,
(3)
(4)
(5)
(6)
Все эти формулы
легко получаются внесением выражения
под знак дифференциала
,
введением поправочного множителя
перед интегралом и использованием
обобщенной таблицы интегралов для
случая
.
Пример 3.
Вычислить
.
Решение.
={чтобы
избавиться от деления и свести к
сумме-разности интегралов, делим каждое
слагаемое в числителе на знаменатель}
=
=
= {интеграл от разности-суммы равен
разности-сумме интегралов, числовые
множители выносим за интегралы}=
= {смотрим простую
таблицу для всех интегралов, кроме
интеграла от косинуса} =
= { так как в интеграле под косинусом не
,
а
,
то используем не простую таблицу
интегралов, а формулу (5) выше при
и
}
=
.
Итак,
