Раздел VIII. Неопределенный интеграл Основные понятия
Ранее мы решали
следующую задачу дифференцирования
(т.е. вычисления производной): дана
функция
,
по ней мы строили другую функцию, которая
называлась производной данной функции
и обозначалась
или
.
Построенная функция оказалась очень
полезной для исследования характера
зависимости переменных
и
,
выраженного исходной функцией. Поставим
теперь обратную задачу − по известному
выражению для производной функции
найти саму функцию. Более точно: дана
функция
,
а необходимо найти такую функцию
,
производная которой равна
.
Дадим следующее определение. Функция
называется первообразной
для функции
на интервале
если
для всех
.
Далее мы будем опускать упоминание об
интервале
,
если равенство
выполнено на всей области определения
первообразной . Пусть, например,
,
тогда несложно угадать,
что первообразной будет функция
,
так как действительно
.
Аналогично, легко проверить, что для
функции
первообразной будет функция
.
Когда мы по заданной
функции вычисляли ее производную, то
получали в ответе одну конкретную
функцию. То есть для функции ее производная
определяется однозначно. Так ли в
отношении первообразной? Единственна
ли первообразная для данной функции? В
первом примере мы убедились, что для
функции
первообразной является
.
Есть ли другие первообразные? Другими
словами, есть ли другие функции,
производная от которых тоже равна
?
Возьмем, например,
.
Легко
убедиться (взяв производную), что это
тоже первообразная для
.
Ясно, что число 5 можно заменить любым
другим и снова получим первообразную
(поскольку производная от любого
числа равна 0), а потому первообразных
бесконечно много (так как чисел бесконечно
много). Понятно и в общем случае, что
если для функции
мы нашли какую-то первообразную
,
то первообразной будет и функция
,
где
– любое число. Исчерпаем ли мы все
первообразные, прибавляя к какой-нибудь
из них все числа? Или может найтись такая
первообразная, которая не получается
из исходной первообразной прибавлением
какого-нибудь числа? Оказывается, таких
быть не может. И обосновывает этот факт
следующая важная
Теорема. Множество всех первообразных для функции имеет вид , где – какая-либо первообразная, а – любое число (буква называется произвольной постоянной).
Множество всех
первообразных (ввиду своей важности)
получило специальное название и
обозначение. Неопределенным
интегралом от
функции
(на интервале
)
называется
множество всех ее первообразных (на
этом интервале). Неопределенный интеграл
от функции
обозначается
.
В этом обозначении:
−
значок интеграла,
называется
подынтегральной функцией,
− знак дифференциала (пока пусть это
просто буква, разделяющая выражение
для подынтегральной функции и переменную
интегрирования),
(за буквой
)
− буква, которой обозначен аргумент в
подынтегральной функции (
называется переменной интегрирования).
По
предыдущей теореме можно записать
следующее основное равенство:
(1)
,
где
– какая-либо
первообразная для
(то есть
),
а
– произвольная постоянная. Таким
образом, производная от правой части
этого равенства (1) должна давать
выражение для функции, стоящей под
интегралом. В дальнейшем мы много раз
будем вычислять (или, как говорят, брать)
интегралы от разных функций
и после многих преобразований получать
ответ в виде
.
Как узнать, правильный ли получился
ответ, что
?
Для проверки можно использовать правило,
которое мы фактически сформулировали
выше, и которое будем называть
Правило (*): Для того, чтобы убедиться, что интеграл выписан правильно, надо взять производную от правой части и должно получиться выражение для функции, стоящей под интегралом.
Какие функции имеют первообразную (а значит, для них существует и неопределенный интеграл)? По крайней мере, таковыми являются все непрерывные функции.
Поскольку в самом
начале мы уже в примерах находили
первообразные для двух функций, то можем
уже выписать два интеграла:
,
.
Таблица (простая) интегралов
Ясно, что можно опять «угадать» интегралы от других основных элементарных функций и составить таблицу интегралов, как в свое время составляли таблицу производных. Назовем ее простой (почему – поймете позже) таблицей интегралов :
1)
2)
3)
,
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
В этих формулах и – любое (а в формуле 9 – положительное) число.
Таким образом, если необходимо вычислить интеграл от функции, которая есть в этой таблице, то можно просто переписать правую часть соответствующей формулы. В следующих примерах отметим некоторые особенности использования наиболее часто применяющейся табличной формулы 3) при различных типах показателя степени .
Пример 1. Пусть число – целое и положительное (т.е. натуральное).
Пример 2. Пусть число – целое и отрицательное.
.
Пример 3. Пусть число – дробное и положительное (т.е. под интегралом корни и степени).
Пример 4. Пусть число – дробное и отрицательное (т.е. под интегралом корни и степени, да еще и в знаменателе).
.
Если же под знаком интеграла стоят суммы-разности функций из таблицы, умноженных на некоторые числа, то для взятия интеграла используют свойства интегралов, излагаемые в следующем параграфе.