Частные производные высших порядков

Напомним, что для функции одной переменной мы вычисляли (по определенным правилам) одну-единственную функцию, которую обозначали и называли производной от данной функции . Если мы от полученной производной снова вычисляли производную, то опять получали одну функцию, которую обозначали и называли второй производной от исходной функции . И так далее – так можно было получить все производные высших порядков для функции одного переменного. Как обстоят дела для функций двух переменных? Если задана функция двух переменных , то для нее выше определялись уже две производных первого порядка – это частные производные и . Обе частные производные и также являются некоторыми функциями от тех же двух переменных. Поэтому для каждой из них можно вычислить снова обе частные производные (по и по ). Получим новые четыре функции. Эти функции будут называться вторыми производными от исходной функции . Ниже приведены различные типы обозначений для всех этих вторых производных и равенства, их определяющие:

(1) _{, , , .}

Вычисляя производные по и по от всех этих функций, получим 8 производных третьего порядка, 16 четвертого и так далее.

Пример 1. Найти вторые производные от функции .

Решение. Отметим, что в примере 1 предыдущего параграфа мы нашли выражения для обеих первых частных производных по и по : , . Последовательно по определению (1) находим четыре вторых производных:

,

,

,

.

Итак, , , , .

Производные и называются смешанными производными (они отличаются только порядком, в котором последовательно вычислялись производные по и по от исходной функции ). В приведенном примере они совпали. Оказывается, что это совсем не случайно, о чем говорит следующая

Теорема, Смешанные производные любой функции совпадают между собой (в точках, где обе непрерывны).

Для функций трех переменных в предыдущем параграфе были определены три типа первых производных по каждой из переменных: , и . Каждая из этих производных снова является некоторой функцией трех переменных, от которых опять могут быть вычислены три производных по каждой из переменных. Итого, получим производных второго порядка от функции . Ниже приведены уже понятные виды обозначений для всех этих вторых производных и равенства, их определяющие:

_{, , ,}

_{, , ,}

_{, , .}

Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, означает производную 4-го порядка, полученную дифференцированием исходной функции сначала дважды по , потом по , потом по .

Пример 2. Найти производную третьего порядка от функции .

Решение. В примере 6 предыдущего параграфа мы уже нашли выражения для всех трех первых производных от этой функции. В частности, было получено, что . Для получения осталось вычислить от полученного выражения еще одну производную по , а затем производную по . Вычисляем: ={ }= . Таким образом, . Наконец, {выражение под знаком производной во втором слагаемом не содержит }= . Итак, .

В качестве упражнения попробуйте самостоятельно найти все вторые производные функции двух переменных . Ответ: , , .