Интегрирование рациональных функций
Рациональными
функциями (или алгебраическими дробями)
называют функции, представленные
формулой вида
,
где
и
есть многочлены некоторой степени
(каждый своей). Имеется схема, по которой
можно вычислить любой интеграл вида
.
Однако эта схема в общем случае
достаточно громоздкая. Поэтому здесь
мы приведем эту схему только для случая,
когда дробь
под интегралом является правильной
(т.е. степень многочлена
меньше степени
),
а многочлен
имеет только действительные корни
первой кратности. Это означает, что он
может быть разложен на множители вида:
(1)
,
где число сомножителей равно степени многочлена . Интегрирование же рациональных функций общего вида достаточно громоздко (как указывалось выше) и, при желании, может быть усвоено по более полным курсам высшей математике (среди которых я бы выделил «Конспект лекций по высшей математике» Дмитрия Письменного).
Для начала запишем, что (по формуле (3) параграфа «Внесение под знак дифференциала и обобщенная таблица интегралов» ):
(2)
.
Теорема
(о разложении дроби на сумму простейших
дробей).
Пусть дробь
является правильной, а знаменатель
имеет вид (1). Тогда существуют числа
,
что для всех чисел
выполнено:
(3)
.
Дроби в правой части (3) называются простейшими, а числа в (3) называются неопределенными коэффициентами.
Если удалось представить дробь в виде (3), то, очевидно,
{с
учетом формулы (2)}
,
где
− произвольная постоянная, возникающая
после интегрирования (индекс 1
внизу поставлен потому, что буква
без индекса уже занята в предыдущем
слагаемом). Таким образом,
(4)
.
Теперь, наверное, уже понятна
Схема вычисления интегралов для дробей указанного вида:
1. Разложить знаменатель на множители вида (1).
Напомним
применяемые ниже в примерах основные
методы разложения на множители:
1)
Использование формул сокращенного
умножения :
.
2) Вынесение общего множителя за
скобку.
3) Разложение на множители
квадратного трехчлена:
(5)
,
где
и
− корни квадратного уравнения
.
2. Записать интегрируемую дробь в виде (3) с (пока еще) неопределенными коэффициентами .
3. Найти значения неопределенных коэффициентов (метод их нахождения будет разобран в примерах).
4. Записать ответ в виде (4) .
Рассмотрим соответствующие примеры.
Пример
1. Вычислить
.
Решение.
В примере интегрируется дробь
,
поэтому
,
а
.
Для таких дробей применима изложенная
выше схема, которую и применяем.
1)
Используя формулу разности квадратов
,
разлагаем знаменатель на множители:
.
2)
В соответствии с (1) и (3) записываем дробь
в виде суммы простейших дробей с
неопределенными коэффициентами
и
:
(6)
.
3) Находим числовые значения неопределенных коэффициентов и . Итак, нужно найти такие числа и , чтобы для всех выполнялось бы равенство (6). Приведем сумму дробей в (6) к общему знаменателю:
.
Таким
образом,
,
и нам нужно найти такие числа
и
,
чтобы для всех
выполнялось бы это равенство. Но
знаменатели этих дробей итак равны.
Поэтому осталось подобрать числа
и
,
чтобы выполнялось равенство числителей.
Итак, необходимо подобрать
и
так, чтобы для
всех
выполнялось бы равенство :
(7)
.
Поскольку
это равенство при подходящих
и
должно выполняться для
всех
,
то подставим в него те значения
,
при которых одно из слагаемых слева в
(7) обращается в 0, т.е.
и
:
а)
при
равенство (7) переходит в
,
т.е.
,
откуда
.
б)
при
равенство (7) переходит в
,
т.е.
,
откуда
.
4)
Итак, в (6)
и
,
поэтому
.
Поэтому в соответствии с формулой (4)
получаем ответ:
.
Пример
2. Вычислить
.
Решение.
В примере интегрируется дробь
,
поэтому
,
а
.
Далее снова применяем ту же схему
вычисления интеграла.
1)
Для разложения на множители знаменателя
интегрируемой дроби
используем формулу
,
где
и
− корни квадратного уравнения
. Корни квадратного уравнения
таковы:
,
.
Поэтому
.
2)
В соответствии с (1) и (3) записываем дробь
в виде суммы простейших дробей с
неопределенными коэффициентами
и
:
.
3) Находим числовые значения неопределенных коэффициентов и . Приведем сумму дробей к общему знаменателю:
Таким
образом,
.
Приравнивая числители этих дробей,
получим, что для
всех
должно выполняться равенство :
.
Подставим в это равенство поочередно
и
(те значения
,
при которых одно из слагаемых слева
обращается в 0):
а)
при
получаем
,
т.е.
,
откуда
.
б)
при
:
,
т.е.
,
откуда
.
4)
Итак,
и
,
поэтому
.
Поэтому в соответствии с формулой (4)
получаем ответ:
.
Пример
3. Вычислить
.
Решение.
В этом случае
,
поэтому
,
а
.
Далее снова применяем знакомую схему
вычисления интеграла.
1)
Для разложения на множители знаменателя
вынесем за скобку
:
.
Получившийся квадратный трехчлен
мы уже в предыдущем примере разложили
на множители:
.
Таким образом,
.
2) В соответствии с (1) и (3) записываем интегрируемую дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами , и :
.
3) Находим числовые значения неопределенных коэффициентов , и . Приведем сумму дробей к общему знаменателю:
Таким
образом,
.
Приравниваем числители этих дробей и
получаем, что для всех
должно выполняться равенство :
. Подставим в это равенство поочередно
,
и
(те значения
,
при которых одно из слагаемых слева
обращается в 0) :
а)
при
получаем
, т.е.
,
откуда
.
б)
при
:
,
т.е.
,
откуда
.
в)
при
:
, т.е.
,
.
4)
Итак,
,
и
,
поэтому
. В соответствии с формулой (4) получаем
ответ:
.