Свойства функций, непрерывных на отрезке

После введения понятия односторонней непрерывности естественно ввести следующее определение непрерывности функции на некотором отрезке. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала , в точке непрерывна справа, а в точке слева.

Пример. Функция непрерывна на отрезке . Действительно, функция задана двумя формулами и определена на всем отрезке [0,1], а потому на подозрении в отсутствии непрерывности может быть только точка стыка . Непрерывность (справа) в точке следует из первого замечательного предела : . Заметим, что если бы в определении этой функции мы в верхней части фигурной скобки написали бы не 1, а другое число, то непрерывность слева в точке уже бы отсутствовала, а функция была бы непрерывна только на полуинтервале .

Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом важных свойств. Введем следующие определения. Пусть функция задана на некотором множестве числовой прямой. Число называется наименьшим значением этой функции на множестве , если

1. Для всех выполнено: .

2. Существует такое, что (в этом случае говорят, что наименьшее значение достигается при ).

Второе свойство обеспечивает то, что число действительно является одним из значений функции, а первое свойство говорит о том, что это значение – наименьшее.

Аналогично, число называется наибольшим значением этой функции на множестве , если

1. Для всех выполнено: .

2. Существует такое, что (в этом случае говорят, что наибольшее значение достигается при ).

Е сли функция имеет на множестве наименьшее (наибольшее) значение, то говорят, что она достигает на этом множестве своего наименьшего (наибольшего) значения. Не всякая непрерывная функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Например, функция непрерывна на интервале , но не достигает (не имеет) на нем ни наибольшего, ни наименьшего значения (см. рисунок). Однако такого уже быть не может, если функция непрерывна на каком-либо отрезке (а не интервале, полуинтервале и т.п.). На таком множестве непрерывная функция обязана достигать свое наименьшее и наибольшее значение. Это свойство утверждает следующая

Теорема. Функция , непрерывная на некотором отрезке , достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения (то, что обозначено выше буквами и ).

Следствие. Функция , непрерывная на некотором отрезке , ограничена на нем.

Указанная ограниченность означает, что существуют такие числа и , что . Понятно, что в данном случае в качестве чисел и можно взять наименьшее и наибольшее значение функции, наличие которых обеспечивается приведенной теоремой.

Другим важным свойством непрерывных на отрезке функций является то, что такая функция принимает все свои промежуточные значения. Более точную формулировку дает следующая

Т еорема. Пусть функция непрерывна на некотором отрезке . Тогда для любого числа , расположенного между значениями функции на концах отрезка и , найдется такое , что .

Иллюстрация на рисунке.

Следствие 1. Пусть функция задана и непрерывна на некотором отрезке [a,b] . Тогда область ее значений представляет собой тоже некоторый отрезок [m, M], где числа m и M суть наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке.

Следствие 2. (о корне непрерывной функции)   Пусть функция непрерывна на отрезке , причём значения функции на концах отрезка и  имеют разные знаки (например, или наоборот). Тогда существует хотя бы одно такое значение , что (то есть существует хотя бы один корень уравнения ).

Э то прямое следствие приведенной теоремы, так как в данном случае число 0 является промежуточным значением между и . Геометрическое истолкование видно из рисунков слева: если кривая графика начинается под осью Ох, а кончается над ней, сама кривая не разрывается, то она обязательно хотя бы один раз должна пересечь ось Ох (точка пересечения и есть корень

уравнения ). Таких корней может быть и больше (см. рисунок справа), но наличие хотя бы одного из них гарантирует данное следствие.

Это следствие не только доказывает наличие корня у непрерывной функции со значениями разных знаков на концах отрезка, но и дает один из известных способов (метод половинного деления) его приближенного нахождения.