Свойства функций, непрерывных в точке

Поскольку непрерывность функции в некоторой точке определяется условием , то следующие основные свойства функций, непрерывных в точке, следуют непосредственно из свойств пределов, сформулированных в соответствующей теореме.

Теорема. 1. Пусть функции и непрерывны в точке , − число. Тогда в этой точке непрерывны функции и (если ).

2. Пусть функция непрерывна в некотором интервале , а функция определена и непрерывна на области значений . Тогда сложная функция (она еще называется суперпозицией функций и и обозначается ) непрерывна на .

Поскольку очевидно, что для любой точки выполнено , то функция непрерывна на всей числовой прямой. Тогда из теоремы следует, что и любая степень тоже непрерывна (так как ). Непрерывна тогда и любая комбинация степеней с числовыми коэффициентами. Отсюда следует, что любой многочлен непрерывен на всей числовой прямой (т.е. в своей области определения). Можно доказать (по определению), что все функции, проходимые в школе (тригонометрические, степенные, показательные, логарифмические и т.д.), тоже непрерывны для всех из области их определения. Назовем элементарными функциями все функции, заданные формулами, которые содержат все проходимые в школе функции, и функции полученные из них с помощью всех арифметических операций и взятия функции от функции (т.е. суперпозиций этих функций). Практически такими являются все функции, которые можно задать одной формулой. Тогда из приведенной теоремы следует важное

Утверждение. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Отсюда можно вывести следующее

Правило 1. Если функция задана одной формулой, то она непрерывна при всех тех значениях аргумента , при которых определена.

Пример 1. Функция является элементарной, а потому непрерывна для всех из своей области определения. Областью определения данной функции является множество всех чисел, за исключением числа 1 (при знаменатель обращается в 0), т.е. множество . Поэтому на этом множестве функция непрерывна (т.е. функция непрерывна для всех ) . Пример 2. По тем же причинам функция непрерывна для всех положительных , кроме . Это следует из того, что логарифм определен только для положительных чисел, а при будет .

Р ассмотрим теперь случай, когда функция определена несколькими формулами (разные формулы на разных интервалах изменения аргумента ). Для наглядности в качестве примера выберем функцию, заданную такими формулами, графики которых известны. Построим график функции . Поскольку на каждом из интервалов и функция задана одной формулой, каждая из которых определена на всем соответствующем интервале, то функция непрерывна на каждом из интервалов ( в точке имеет место непрерывность слева). Но, как мы видим из рисунка, в точке «стыка» двух формул (т.е при ) непрерывности нет, так как два разных графика в точке стыка не сливаются. Если функция задана различными формулами, то точка стыка различных формул (т.е. точка на числовой оси, по разные стороны от которой функция задается различными формулами) всегда входит в число точек, в которых непрерывность может отсутствовать. Это следует из того, что графики различных функций могут в точке стыка подходить к разным значениям. Поэтому справедливо

Правило 2. Если функция задана несколькими формулами (разные формулы на разных участках изменения аргумента ), то она непрерывна во всех точках, в которых определена, кроме, быть может, точек стыка разных формул.

«Быть может» сказано потому, что точка стыка тоже может быть точкой непрерывности, т.е. графики разных функций могут в точке стыка и сливаться (но точки стыка надо отдельно проверять на непрерывность). Например, если в предыдущем примере «поднять» прямую на 1 вверх, т.е. рассмотреть функцию , то она будет непрерывна на всей числовой прямой.