Бесконечно малые и бесконечно большие функции

При вычислении пределов большую помощь оказывает так называемые бесконечно малые и бесконечно большие функции. Функция называется бесконечно малой при (в частности, может быть или ), если . Например, функция является бесконечно малой при (но не является бесконечно малой, например, при ). Функция называется бесконечно большой при (в частности, может быть или ), если . Например, функция является бесконечно большой при . Вспомним, только что было выяснено, что знаменатель этой функции является бесконечно малой при . Оказывается, именно так и связаны бесконечно малые и бесконечно большие функции. А именно, пусть функция не обращается в 0 в некоторой окрестности точки (за исключением, быть может, самой точки ). Несложно показать в этом случае, что является бесконечно большой при тогда и только тогда, когда функция является бесконечно малой при . Справедлива следующая интуитивно ясная

Теорема. 1. только в том случае , когда функция является бесконечно малой при . 2. Пусть являются бесконечно малыми при , а функция ограничена в какой-либо окрестности точки . Тогда бесконечно малыми при являются функции и .

С помощью этой теоремы доказываются утверждения теоремы о пределах, приведенные выше.

Особую роль при избавлении от неопределенностей в пределах играют так называемые эквивалентные бесконечно малые (т.е. стремящиеся к нулю с одной и той же скоростью). Пусть функции и − бесконечно малые при . Они называются эквивалентными бесконечно малыми при , если . Обозначение эквивалентности бесконечно малых: ~ . Составим список наиболее употребительных эквивалентных бесконечно малых. Пусть − бесконечно малая при . Тогда: ~ , , , , , , , при .

Использование бесконечно малых позволяет раскрывать неопределенности в достаточно сложных пределах благодаря следующему утверждению.

Теорема. При вычислении пределов от произведений и частных эквивалентные бесконечно малые можно заменять друг на друга.

Пример. Вычислить

Решение. Легко проверить (подстановкой х=0), что при вычислении данного предела возникает неопределенность типа . Поскольку функция под знаком предела составлена из произведений и частного, то все множители (которые являются бесконечно малыми при ) можно заменить на более простые эквивалентные бесконечно малые из приведенной выше таблицы: ~ , ~ , ~ , ~ , , . Заменяя (на основании теоремы) исходные бесконечно малые на эквивалентные, получаем

.

Односторонние пределы

Напомним (интуитивное) определение предела функции, данное выше. Число а называется пределом функции при стремящемся к числу ( ), если при безграничном приближении к числу по любому закону (справа, слева, попеременно и т.д., но ), значения функции у безгранично приближаются к числу а (одному и тому же при любом законе стремления к числу ). Однако иногда бывает так, что при безграничном приближении к с одной стороны (например, справа, т.е. со стороны чисел, больших, чем ) значения функции безгранично приближаются к одному числу, а при приближении к с другой стороны (слева, т.е. со стороны чисел, меньших, чем ) значения функции безгранично приближаются к другому числу. Понятно, что предела у такой функции по данному нами определению не существует, ибо если бы предельное значение существовало, то именно к нему (и только к нему) должны приближаться значения функции независимо от того, с какой стороны приближается к . Поэтому вводятся понятия отдельно правого и левого предела. Соответствующие определения отличаются от данного выше определения предела только одним моментом: к должно приближаться тоже по любому закону, но только с одной стороны (либо только справа, либо только слева). Итак, число а называется правым пределом функции при стремящемся к ч ислу _, если при безграничном приближении к числу х₀ по любому закону, но только с правой стороны (т.е. х остается всегда больше х₀ – с м. рисунок), значения функции у безгранично приближаются к числу а. Аналогично вводится понятие левого предела, когда позволено приближаться к только со стороны чисел, меньших, чем (рисунок). Обозначения для правого и левого предела: , . Для односторонних пределов справедливы все свойства обычных пределов, сформулированные выше в теореме. Далее, если существует обычный предел , то, очевидно, существуют и оба односторонних предела, которые совпадают со значением обычного предела: . Очень важно, что справедливо и обратное

Утверждение. Если существуют и совпадают между собой оба односторонних предела ( ), то существует и обычный предел, равный общему значению односторонних пределов ( ).

Ранее мы уже исследовали предельное поведение функции при приближении к 0 с разных сторон (со стороны положительных и со стороны отрицательных чисел), отмечая стремление то к , то к . Символически этот факт мы записывали в виде , оговаривая, что в обычном смысле предела все же не существует. Теперь (когда мы знакомы с односторонними пределами) можно записать вполне строгие равенства: и . Вот другой пример, когда функция, записанная одной формулой справа и слева от предельной точки, дает, тем не менее, разные значения односторонних пределов: , но . Это связано с тем, что при вычислении правого предела значения приближаются к 0 справа, т.е. со стороны положительных чисел. Для таких чисел , а потому . Аналогично, для левого предела приближается к нулю со стороны отрицательных чисел, для которых , а потому . Далее (при изучении понятия непрерывности функции), мы еще не раз столкнемся с односторонними пределами.